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2016届高三数学(文)二轮复习(教师用书):专题十五 概率与统计 WORD版含解析.doc

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资源描述

1、专题十五概率与统计(见学生用书P92)(见学生用书P92)1在古典概型中,事件A的概率公式P(A)2在几何概型中,事件A的概率公式P(A),其中表示区域的几何度量,A表示区域A的几何度量3不可能同时发生的事件叫做互斥事件,若事件A和B为互斥事件,则P(AB)P(A)P(B),这个公式推广到n个互斥事件时也成立(P(AB)也可记为P(AB)4抽样方法包括:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法5频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距,数据落在各个小组内的频率用小矩形的面积表示,各小矩形的面积和等于1.6众数、平均数、中位数是描述数据的集中趋势的量,方差、标准差则是描述数据的波动大小其中,方差的计

2、算公式为s2(x1x)2(x2x)2(xnx)27茎叶图通常用来记录两位数的数据,把两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,如数据为三位数,则把十位和百位数字放在一起作为茎,个位数字作为叶8回归分析(1)回归直线方程:x一定过样本点中心, (2)样本相关系数r当r0时,表明两变量正相关;当r0时,表明两变量负相关|r|越接近1,表明两变量的线性相关性越强;|r|越接近0,表明两变量的线性相关性越弱9独立性检验K2,其中nabcd.(见学生用书P93)考点一事件与概率考点精析1判断事件关系时要注意:(1)利用集合观点判断事件关系;(2)可以写出所有试验结果,看所求事件包含哪几个试验结果,从而判断

3、所求事件的关系2求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数,计算的方法有:(1)列举法;(2)列表法;(3)利用树状图列举3求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)1P(A),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”,“至少”型题目,用间接求法就显得较简便例 11(2014泰安模拟)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则恰有1个白球和全是白球;至少有1个白球和全是黑球;至少有1个白球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个黑球在上述

4、事件中,是对立事件的为()A BC D考点:对立事件分析:根据对立事件的概念进行判断解析:至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且一定有一个发生中两事件是对立事件答案:B点评:本题考查了对立事件的概念对立必然互斥,互斥不一定会对立例 12(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为_考点:随机事件的概率分析:求出总的试验结果,2只球颜色不同的结果,再用公式计算即可,或用对立事件的概率和为1求解解析:由于总的试验结果只有6种,2只球颜色不同的结果有5种,所以所求事件的概率P.(方法2)由于总的试验结果有6种,

5、其中2只球的颜色相同的结果有1种,由于互为对立事件的概率之和为1,所以所求事件的概率P1.答案:点评:本题考查了随机事件的概率,可用直接法或间接法求解变式训练【11】 (2015全国卷)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.解析:基本事件为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个可构成勾股数的基本事件为(3,4,5),故所求概率为.故选C.答

6、案:C【12】 (2015广东卷)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6C0.8 D1解析:设3件合格品为A1,A2,A3,2件次品为B1,B2,从5件产品中任取2件共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),10种恰有1件次品有6种,P.答案:B考点二古典概型考点精析1在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视他们是否是等可能的2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中,易忽视只有当A

7、B,即A,B互斥时,P(AB)P(A)P(B),此时P(AB)0.例 21(2015天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛()用所给编号列出所有可能的结果;()设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率考点:分层抽样、古典概型分析:(1)根据分层抽样的每层抽样比相同原理直接求解;(2)用列举法列出基本

8、事件,利用古典概型的概率计算公式求解解析:(1)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)()从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛,所有可能的结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种()编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为A1,A5,A1,A6, A2,A5,A2,A6, A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种,所以事件A发生的概率P(A).点评:本题考查了分层抽样、

9、古典概型,解题的关键是用列举法列出所有的基本事件,再用公式计算变式训练【21】 (2015山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的

10、共有453015人,所以从该班级随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15个根据题意,这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.考点三几何概型考点精析几何概型的常见类型的判断方法:(1)与长度有关的几何概型,其基

11、本事件只与一个连续的变量有关;(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题;(3)与体积有关的几何概型,其试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示例 31(2014深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.考点:几何概型分析:根据几何概型知识,概率为体积之比解析:根据几何概型知识,概率为体积之比,即P.答案:A点评

12、:关键是理解“安全飞行”的空间为正方体,且边长为(42)例 32(2015湖北卷)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“xy”的概率,p2为事件“xy”的概率,则()Ap1p2 Bp2p1C.p2p1 Dp1p2考点:几何概型、线性规划分析:根据几何概型知识,概率为面积之比,分别求出p1,p2,再比较大小解析:“xy”对应区域面积为S1,“xy”对应区域面积为S2,如图p1S1,p2S2.由图可知S1,所以p16.635.所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”(见学生用书P99)例(2014湖南模拟)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息

13、,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解析:(1)由题意,解得x15,y20.该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,x1.

14、9.估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟(2)设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”将频率视为概率,得P(B),P(C).B,C互斥,且ABC,其中A表示事件“一位顾客一次性购物结算时间不超过2分钟”P(A)P(BC)P(B)P(C),因此P(A)1P(A)1.一位顾客一次购物结算时间不超过2分的概率为0.7.易错提示:(1)对统计表的信息不理解,错求x,y难以用样本平均数估计总体(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为BC的对立事件,导致计算错误专家会诊:(1)准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征的含义(2)正确判定事件

15、间的关系,善于将A转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式(见学生用书P147)一、选择题1(2015湖北卷)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1 365石解析:设这批米内夹谷约x石,由题意有, x169.答案:B2(2015山东卷)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“1log1”发生的概率为()A. B.C. D.解析:由1log1,得x2,解得0x,所以事件“1log1”发生的概率为,故选A.答案:A3(2015四川

16、卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是()A抽签法 B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法解析:因为总体由有明显差异的几部分构成,所以用分层抽样法故选C.答案:C4(2015山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月

17、14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A B C D解析:由茎叶图中的数据通过计算求得,x) 甲29,,x) 乙30,s甲,s乙,,x) 甲s乙,故正确选B.答案:B5(2015湖北卷)已知变量x和y满足关系y0.1x1,变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关,x与z负相关Bx与y正相关,x与z正相关Cx与y负相关,x与z负相关Dx与y负相关,x与z正相关解析:由y0.1x1,知x与y负相关,即y随x的增大而减小,又y与z正相关,所以z随y的增大而增大,减小而减小,所以z随x的增大而减小,x与z负相关故选C.答案:C6(20

18、15太原模拟)已知O、A、B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A. B.C1 D1解析:在等腰直角三角形OAB中,以O为圆心,为半径的圆截AB所得的线段长为2,而|AB|2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是11,故选D.答案:D7(2015陕西卷)设复数z(x1)yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A. B.C. D.解析:由复数的模

19、的定义得|z|1,即(x1)2y21.在(x1)2y21表示的区域内,满足yx的部分如图阴影部分由几何概型可知所求概率为P.答案:C8(2015安徽模拟)我们把形如“1 324”和“3 241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数),由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数,则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为()A. B.C. D.解析:通过画树状图可知由1,2,3,4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个,四位数为“锯齿数”的有:1 324,1 423,2 143,2 314,2 413,3 142,3 241,3 412,4 132,4 231,共10个,所以四位数为“锯齿

20、数”的概率为.故选B.答案:B二、填空题9(2015重庆卷)某校高一年级有900名学生,其中女生400名按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_解析:男生人数为900400500.设应抽取男生x人,则由得x25.即应抽取男生25人答案:2510若不等式组表示的平面区域为M,(x4)2y21表示的平面区域为N,现随机向平面区域M内抛一粒豆子,则该豆子落在平面区域N内的概率是_解析:如图所示:P.答案:11(2015重庆卷)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x22px3p20有两个负根的概率为_解析:令函数f(x)x22px3p2(xp)2p

21、23p2,方程x22px3p20有两个负根等价于函数f(x)x22px3p2的图象与x轴的负半轴有两个交点由实根分布,问题即转化为即又因为p0,5,所以满足题意的p的范围是2,5又由几何概型的概率计算公式得,所求事件的概率是.答案:12(2014长沙模拟)下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据:x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y0.7x0.35,那么表中t的值为_解析:样本点中心为,代入回归方程,得0.74.50.35,解得t3.答案:3三、解答题13(2015湖南卷)某商场举行有奖

22、促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗?请说明理由解析:(1)所有可能的摸出结果是A1,a1,A1,a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2,B,a1,B,a2,B,b1,B,b2(2)不正确理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果

23、为A1,a1,A1,a2,A2,a1,A2,a2,共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1,故这种说法不正确14(2015广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为220,240),240,260),260,280),280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户?解析:(1)由已知得,2

24、0(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)1,解得x0.007 5,(2)由题图可知,面积最大的矩形对应的月平均用电量区间为220,240),所以月平均用电量的众数的估计值为230;因为20(0.0020.009 50.011)0.450.5,所以中位数在区间220,240)内设中位数为m,则20(0.0020.009 50.011)0.012 5(m220)0.5,解得m224.所以月平均用电量的中位数为224.(3)由题图知,月平均用电量为220,240)的用户数为(240220)0.012 510025,同理可得,月平均用电量为240,260),26

25、0,280),280,300的用户数分别为15,10,5.故用分层抽样的方式抽取11户居民,月平均用电量在220,240)的用户中应抽取115(户)15(2014辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率附:K2.P(K2k)0.1000.

26、0500.010k2.7063.8416.635解析:(1)将22列联表中的数据代入公式计算,得K24.762.由于4.7623.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),其中ai表示喜欢甜品的学生,i1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j1,2,3.由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)事件A由7个基本事件组成,因而P(A).

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