1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.4数学探究活动：了解高考选考科目的确定是否与性别有关(略)巩固层知识整合提升层题型探究条件概率、乘法公式及全概率公式【例1】设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率解记事件A1：“该产品是甲厂生产的”， 事件A2: “该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”， 事件B：“该产品是次品”. 由题设， 知P(A1)45%，P(A2)35%，P(A3)20%，P
2、(B|A1)4%，P(B|A2)2%，P(B|A3)5%.(1)由全概率公式得P(B)P(Ai)P(B|Ai)3.5%.(2)由贝叶斯公式得P(A1|B).无论条件概率公式P(A|B)，乘法公式P(AB)P(B)P(A|B)，还是贝叶斯公式P(A|B)都反映了P(A)，P(B|A)，P(AB)三者之间的转化关系，灵活应用即可.1外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得
3、标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率解设A从第一个盒子中取得标有字母A的球, B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，易得P(A)，P(B)， P(R|A)，P(R|B)，事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59.独立重复试验与二项分布【例2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛
4、规则甲获胜的概率解(1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B“甲打完4局才能取胜”，记事件C“甲打完5局才能取胜”甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，甲打完3局取胜的概率为P(A)C.甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C.甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C.(2)事件D“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又事件A，B，C彼此互斥
5、，故P(D)P(A)P(B)P(C)，按比赛规则甲获胜的概率为.1在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率2根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率2某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率解记“这名同学答对第i个问题
6、”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A3)0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差【例3】某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元某顾客现购买价格为2 300
7、元的台式电脑一台，得到奖券4张(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为(元)，用表示，并求的数学期望解(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此B.P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，P(4)C，其分布列为01234P(2)B，E()42.又由题意可知2 300100，E()E(2 300100)2 300100E()2 30010022 100元即所求变量的期望为2 100元1对于特殊分布列的均值：(1)若XB(n，p)，则E(X)np；(2)若XH(N，n，M)，则E(X)；(3)若YaXb，则E(Y)aE(X)b.2对于一般分
8、布列的均值，求解的关键依然是随机变量的取值范围及相应概率的计算3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的
9、数学期望E(X)1234.正态分布及其应用【例4】已知(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，在某项测量结果中，测量结果服从正态分布(，2)，且E()2，D()9，则概率P(15)等于()A(1)(1)B2(1)1C12(1)D(2)AE()2，D()9，总体服从正态分布，XB(2,32)，(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，F(x)，P(15)(1)(1)，故选A.求解正态分布问题的三个关注点1标准正态分布N(0,1)与非标准正态分布YN(，2)之间可通过ZN(0,1)实现转化2若N(0,1)，则(x)P(x)3正态曲线是轴对称图形，要会利用其对称性解题4为了了解某地
10、区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A997B954C819D683D由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(40，所以预测该批次混凝土达标()令f281.2f7740，得f727.5.所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.培优层素养升华【例】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置
11、了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图(1)根据散点图判断，在推广期内，yabx与ycdx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(
12、3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2所示：表2支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用参考数据：xiyixivi100.5462.141.542 53550.123.47其中vilg yi，vi.参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线
13、u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)根据散点图判断，ycdx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(2)ycdx，两边同时取常用对数得：lg ylg(cdx)lg clg dx，设lg yv，vlg clg dx.4，1.54，x140，l d0.25，把样本中心点(4,1.54)代入vlg clg dx，得：l c0.54，0.540.25x，l y0.540.25x，y关于x的回归方程式：100.540.25x100.54(100.25)x3.47100.25x.把x8代入上式，3.47102347.活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.(3)记一
14、名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，P(Z2)0.1；P(Z1.8)0.30.15；P(Z1.6)0.60.30.7；P(Z1.4)0.30.05.分布列为Z21.81.61.4P0.10.150.70.05所以，一名乘客一次乘车的平均费用为20.11.80.151.60.71.40.051.66(元)这类问题以社会背景为载体，融统计、概率、数据分析、数学建模等知识于一体，重在考查学生的信息提取、数据分析和数学建模能力，合理应用知识解题是求解此类问题的关键.素养提升当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生
15、、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某市初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数155,165)165,175)175,185)185，)得分17181920(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(，2)，用样本数据的平均
16、值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2169(各组数据用中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为，求随机变量的分布列和期望附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.解(1)设“两人得分之和不大于3
17、5分”为事件A，则事件A包括两种情况：两人得分均为17分；两人中1人得17分，1人得18分由古典概型概率公式可得P(A)，所以两人得分之和不大于35分的概率为.(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数为1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185(个)，又由s2169，得s13，所以正式测试时195，13，182.由正态曲线的对称性可得P(182)10.841 35，0.841 352 0001 682.71 683(人)，所以可预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683人由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，所以B(3,0.5)，P(0)C(10.5)30.125，P(1)C0.5(10.5)20.375，P(2)C0.52(10.5)0.375，P(3)C0.530.125.的分布列为0123P0.1250.3750.3750.125E(X)30.51.5.- 15 - 版权所有高考资源网
