1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示:对应学生用书第359页A组基础保分练1(2021江西上饶模拟)直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交B相切C相离 D不能确定解析:将圆的方程化为标准方程得,所以圆心坐标为,半径r因为圆心到直线axby0的距离dr,所以直线与圆相切答案:B2(2021长春质检)圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A1 B2C4 D8解析:由(x2y24)(x2y24x4y12)0得公共弦所在直线的方程为xy20,它与两坐标轴分别交于(2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为222答
2、案:B3(2021湖南十四校二联)已知直线x2ya0与圆O:x2y22相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A或 B或C D解析:因为直线x2ya0与圆O:x2y22相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得1,所以a答案:B4(2021洛阳市第一次统考)直线l:ykx1与圆O:x2y21相交于A,B两点,则“k1”是“|AB|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:依题意,注意到|AB|OA|2|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于,即有,
3、k1因此,“k1”是“|AB|”的充分不必要条件答案:A5(2021衡水一中模考)圆C1:(x1)2(y2)24与圆C2:(x3)2(y2)24的公切线的条数是()A1 B2C3 D4解析:圆C1:(x1)2(y2)24的圆心为(1,2),半径为2,圆C2:(x3)2(y2)24的圆心为(3,2),半径为2,两圆的圆心距|C1C2|422,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故公切线的条数为3答案:C6(2021武汉调研)已知直线l:xy50与圆C:(x2)2(y1)2r2(r0)相交所得的弦长为2,则圆C的半径r()A B2C2 D4解析:法一:依题意,得圆C的圆心坐标为(2,1
4、),圆心到直线l的距离d,因为弦长为2,所以22,所以r2法二:联立得整理得2x212x20r20,设直线l与圆C的两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1x26,x1x2,所以|AB|x1x2|2,所以r2答案:B7(2021广东天河模拟)已知圆C的方程为x22xy20,直线l:kxy22k0与圆C交于A,B两点,则当ABC面积最大时,直线l的斜率k_解析:由x22xy20,得(x1)2y21,则圆的半径r1,圆心C(1,0),直线l:kxy22k0与圆C交于A,B两点,当CA与CB垂直时,ABC面积最大,此时ABC为等腰直角三角形,圆心C到直线AB的距离d,则有,解得k1或
5、7答案:1或78(2021珠海六校联考)已知直线yax与圆C:x2y22ax2y20相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则圆C的面积为_解析:圆C:x2y22ax2y20可化为(xa)2(y1)2a21,因为直线yax和圆C相交,ABC为等边三角形,所以圆心C到直线axy0的距离为,即d,解得a27,所以圆C的面积为6答案:69已知圆M过C(1,1),D(1,1)两点,且圆心M在直线xy20上(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x4y80上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值解析:(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0),根据题意得解
6、得ab1,r2,故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24(2)由题意知,四边形PAMB的面积为SSPAMSPBM(|AM|PA|BM|PB|)又|AM|BM|2,|PA|PB|,所以S2|PA|,而|PA|2|PM|2|AM|2|PM|24,所以S2因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值,即在直线3x4y80上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min3,所以四边形PAMB面积的最小值为2210已知圆O:x2y2r2(r0)与直线3x4y150相切(1)若直线l:y2x5与圆O交于M,N两点,求|MN|;(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交
7、圆O于B,C两点,且k1k23,试证明直线BC恒过一点,并求出该点的坐标解析:(1)由题意知,圆心O到直线3x4y150的距离d3r,所以圆O:x2y29又圆心O到直线l:y2x5的距离d1,所以|MN|24(2)证明:易知A(3,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB:yk1(x3),由得(k1)x26kx9k90,所以3x1,即x1,所以y1k1(x13),所以B同理C由k1k23得k2,将代替k2,可得C当,即k1时,kBC,k1从而直线BC:y即y,化简得y所以直线BC恒过一点,该点为当k1时,k2,此时xBxC,所以直线BC的方程为x,过点综上,直线BC恒过定点B组能
8、力提升练1(2021安徽马鞍山模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x3)2(ya)24上存在两点A,B满足:AOB60,则实数a的最大值是()A5 B3C D2解析:根据题意,圆C的圆心为(3,a),在直线x3上,分析可得:当圆心距离x轴的距离越远,AOB越小,如图,当a0时,圆心C在x轴上方,若OA,OB为圆的切线且AOB60,此时a取得最大值,此时AOC30,有|OC|2|AC|4,即(30)2(a0)216,解得a,故实数a的最大值是答案:C2(2021安徽合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线
9、ykx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为()A BC2 D4解析:如图,因为圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,所以圆心的纵坐标为2,半径为2,则圆心的横坐标为,所以圆心坐标为(,2),设过原点与圆相切的直线方程为yk1x,由圆心到直线的距离等于半径,得2,解得k10(舍去)或k14所以若圆C上存在点M,使得直线OM与直线ykx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为4答案:D3(2020高考全国卷)已知M:x2y22x2y20,直线l:2xy20,P为l上的动点过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A2xy10 B2xy10C2
10、xy10 D2xy10解析:M:(x1)2(y1)24,则圆心M(1,1),M的半径为2如图,由题意可知PMAB,S四边形PAMB|PM|AB|PA|AM|2|PA|,|PM|AB|4|PA|4当|PM|AB|最小时,|PM|最小,此时PMl故直线PM的方程为y1(x1),即x2y10由得P(1,0)又PA与M相切,直线PA的方程为x1(在M中,1x1),PAx轴,PAMA,A(1,1)又直线AB与l平行,设直线AB的方程为2xym0,将A(1,1)的坐标代入2xym0,得m1直线AB的方程为2xy10答案:D4已知圆的方程为x2(y1)24,圆心为C,若过点P的直线l与此圆交于A,B两点,则
11、当ACB最小时,直线l的方程为()A4x2y30 Bx2y20C4x2y30 Dx2y20解析:圆心坐标为(0,1),当弦长|AB|最小时,ACB最小,此时直线AB与PC垂直,kl2,所以直线l的方程为y2(x1),即4x2y30答案:A5已知直线l:xay10(aR)是圆C:x2y24x2y10的对称轴过点A(4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|_解析:由于直线xay10是圆C:x2y24x2y10的对称轴,所以圆心C(2,1)在直线xay10上,所以2a10,所以a1,所以A(4,1)所以|AC|236440又r2,所以|AB|240436所以|AB|6答案:66(2021江苏启
12、东中学检测)已知圆C1:(x1)2(y1)21,圆C2:(x4)2(y5)29,点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|PM|的最大值是_解析:圆C1:(x1)2(y1)21的圆心为C1(1,1),半径为1,圆C2:(x4)2(y5)29的圆心为C2(4,5),半径为3要使|PN|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|的最大值为|PC2|3,|PM|的最小值为|PC1|1,故|PN|PM|的最大值是(|PC2|3)(|PC1|1)|PC2|PC1|4,设C2(4,5)关于x轴的对称点为C2(4,5),|PC2|PC1|PC2|PC1|C1C2|5,故|P
13、C2|PC1|4的最大值为549,即|PN|PM|的最大值是9答案:97已知圆O:x2y29及点C(2,1)(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求直线l的方程解析:(1)四边形OACB为菱形,证明如下:易得OC的中点为,设A(x1,y1),B(x2,y2),易得OC的垂直平分线的方程为y2x,代入x2y29,得5x210x0,1,21,AB的中点为,则四边形OACB为平行四边形,又OCAB,四边形OACB为菱形(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x2,则P,Q的坐标为(2,)
14、,(2,),SOPQ222当直线l的斜率存在时,设l的方程为y1k(x2),即kxy12k0,则圆心O到直线l的距离d由平面几何知识得|PQ|2,SOPQ|PQ|d2d 当且仅当9d2d2,即d2时,SOPQ取得最大值为2,SOPQ的最大值为,此时,令,解得k7或k1故直线l的方程为xy30或7xy150C组创新应用练1已知直线l:xy10截圆:x2y2r2(r0)所得的弦长为,点M,N在圆上,且直线l:(12m)x(m1)y3m0过定点P,若PMPN,则|MN|的取值范围为()A2,2 B2,2 C, D, 解析:由题意,2,解得r2,因为直线l:(12m)x(m1)y3m0过定点P,故P(
15、1,1),设MN的中点为Q(x,y),则OM2OQ2MQ2OQ2PQ2,即4x2y2(x1)2(y1)2,化简可得,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为,|MN|的取值范围为,答案:D2已知从圆C:(x1)2(y2)22外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,且有|PM|PO|(O为坐标原点),则当|PM|取得最小值时点P的坐标为_解析:如图所示,圆C的圆心为C(1,2),半径r,因为|PM|PO|,所以|PO|2r2|PC|2,所以xy2(x11)2(y12)2,即2x14y130要使|PM|最小,只要|PO|最小即可当直线PO垂直于直线2x4y30,即直线PO的方程为2xy0时,|PM|最小,此时点P即为两直线的交点,由得故当|PM|取得最小值时,点P的坐标为答案: