1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第359页A组基础保分练1（2021江西上饶模拟）直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是（）A相交B相切C相离 D不能确定解析：将圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径r因为圆心到直线axby0的距离dr，所以直线与圆相切答案：B2（2021长春质检）圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A1 B2C4 D8解析：由（x2y24）（x2y24x4y12）0得公共弦所在直线的方程为xy20，它与两坐标轴分别交于（2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为222答
2、案：B3（2021湖南十四校二联）已知直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A或 B或C D解析：因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a答案：B4（2021洛阳市第一次统考）直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“|AB|”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到|AB|OA|2|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于，即有，
3、k1因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要条件答案：A5（2021衡水一中模考）圆C1：（x1）2（y2）24与圆C2：（x3）2（y2）24的公切线的条数是（）A1 B2C3 D4解析：圆C1：（x1）2（y2）24的圆心为（1，2），半径为2，圆C2：（x3）2（y2）24的圆心为（3，2），半径为2，两圆的圆心距|C1C2|422，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3答案：C6（2021武汉调研）已知直线l：xy50与圆C：（x2）2（y1）2r2（r0）相交所得的弦长为2，则圆C的半径r（）A B2C2 D4解析：法一：依题意，得圆C的圆心坐标为（2，1
4、），圆心到直线l的距离d，因为弦长为2，所以22，所以r2法二：联立得整理得2x212x20r20，设直线l与圆C的两交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1x26，x1x2，所以|AB|x1x2|2，所以r2答案：B7（2021广东天河模拟）已知圆C的方程为x22xy20，直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，则当ABC面积最大时，直线l的斜率k_解析：由x22xy20，得（x1）2y21，则圆的半径r1，圆心C（1，0），直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，当CA与CB垂直时，ABC面积最大，此时ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d，则有，解得k1或
5、7答案：1或78（2021珠海六校联考）已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ax2y20可化为（xa）2（y1）2a21，因为直线yax和圆C相交，ABC为等边三角形，所以圆心C到直线axy0的距离为，即d，解得a27，所以圆C的面积为6答案：69已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在直线xy20上（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解析：（1）设圆M的方程为（xa）2（yb）2r2（r0），根据题意得解
6、得ab1，r2，故所求圆M的方程为（x1）2（y1）24（2）由题意知，四边形PAMB的面积为SSPAMSPBM（|AM|PA|BM|PB|）又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|2|PM|2|AM|2|PM|24，所以S2因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为2210已知圆O：x2y2r2（r0）与直线3x4y150相切（1）若直线l：y2x5与圆O交于M，N两点，求|MN|；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交
7、圆O于B，C两点，且k1k23，试证明直线BC恒过一点，并求出该点的坐标解析：（1）由题意知，圆心O到直线3x4y150的距离d3r，所以圆O：x2y29又圆心O到直线l：y2x5的距离d1，所以|MN|24（2）证明：易知A（3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：yk1（x3），由得（k1）x26kx9k90，所以3x1，即x1，所以y1k1（x13），所以B同理C由k1k23得k2，将代替k2，可得C当，即k1时，kBC，k1从而直线BC：y即y，化简得y所以直线BC恒过一点，该点为当k1时，k2，此时xBxC，所以直线BC的方程为x，过点综上，直线BC恒过定点B组能
8、力提升练1（2021安徽马鞍山模拟）在平面直角坐标系xOy中，若圆C：（x3）2（ya）24上存在两点A，B满足：AOB60，则实数a的最大值是（）A5 B3C D2解析：根据题意，圆C的圆心为（3，a），在直线x3上，分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，AOB越小，如图，当a0时，圆心C在x轴上方，若OA，OB为圆的切线且AOB60，此时a取得最大值，此时AOC30，有|OC|2|AC|4，即（30）2（a0）216，解得a，故实数a的最大值是答案：C2（2021安徽合肥模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线
9、ykx（k0）关于y轴对称，则k的最小值为（）A BC2 D4解析：如图，因为圆C经过点（0，1），（0，3），且与x轴正半轴相切，所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为，所以圆心坐标为（，2），设过原点与圆相切的直线方程为yk1x，由圆心到直线的距离等于半径，得2，解得k10（舍去）或k14所以若圆C上存在点M，使得直线OM与直线ykx（k0）关于y轴对称，则k的最小值为4答案：D3（2020高考全国卷）已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为（）A2xy10 B2xy10C2
10、xy10 D2xy10解析：M：（x1）2（y1）24，则圆心M（1，1），M的半径为2如图，由题意可知PMAB，S四边形PAMB|PM|AB|PA|AM|2|PA|，|PM|AB|4|PA|4当|PM|AB|最小时，|PM|最小，此时PMl故直线PM的方程为y1（x1），即x2y10由得P（1，0）又PA与M相切，直线PA的方程为x1（在M中，1x1），PAx轴，PAMA，A（1，1）又直线AB与l平行，设直线AB的方程为2xym0，将A（1，1）的坐标代入2xym0，得m1直线AB的方程为2xy10答案：D4已知圆的方程为x2（y1）24，圆心为C，若过点P的直线l与此圆交于A，B两点，则
11、当ACB最小时，直线l的方程为（）A4x2y30 Bx2y20C4x2y30 Dx2y20解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB|最小时，ACB最小，此时直线AB与PC垂直，kl2，所以直线l的方程为y2（x1），即4x2y30答案：A5已知直线l：xay10（aR）是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_解析：由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，所以圆心C（2，1）在直线xay10上，所以2a10，所以a1，所以A（4，1）所以|AC|236440又r2，所以|AB|240436所以|AB|6答案：66（2021江苏启
12、东中学检测）已知圆C1：（x1）2（y1）21，圆C2：（x4）2（y5）29，点M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|PM|的最大值是_解析：圆C1：（x1）2（y1）21的圆心为C1（1，1），半径为1，圆C2：（x4）2（y5）29的圆心为C2（4，5），半径为3要使|PN|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|的最大值为|PC2|3，|PM|的最小值为|PC1|1，故|PN|PM|的最大值是（|PC2|3）（|PC1|1）|PC2|PC1|4，设C2（4，5）关于x轴的对称点为C2（4，5），|PC2|PC1|PC2|PC1|C1C2|5，故|P
13、C2|PC1|4的最大值为549，即|PN|PM|的最大值是9答案：97已知圆O：x2y29及点C（2，1）（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明；（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程解析：（1）四边形OACB为菱形，证明如下：易得OC的中点为，设A（x1，y1），B（x2，y2），易得OC的垂直平分线的方程为y2x，代入x2y29，得5x210x0，1，21，AB的中点为，则四边形OACB为平行四边形，又OCAB，四边形OACB为菱形（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为（2，）
14、，（2，），SOPQ222当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k（x2），即kxy12k0，则圆心O到直线l的距离d由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d 当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值为2，SOPQ的最大值为，此时，令，解得k7或k1故直线l的方程为xy30或7xy150C组创新应用练1已知直线l：xy10截圆：x2y2r2（r0）所得的弦长为，点M，N在圆上，且直线l：（12m）x（m1）y3m0过定点P，若PMPN，则|MN|的取值范围为（）A2，2 B2，2 C， D， 解析：由题意，2，解得r2，因为直线l：（12m）x（m1）y3m0过定点P，故P（
15、1，1），设MN的中点为Q（x，y），则OM2OQ2MQ2OQ2PQ2，即4x2y2（x1）2（y1）2，化简可得，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为，答案：D2已知从圆C：（x1）2（y2）22外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，且有|PM|PO|（O为坐标原点），则当|PM|取得最小值时点P的坐标为_解析：如图所示，圆C的圆心为C（1，2），半径r，因为|PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2，所以xy2（x11）2（y12）2，即2x14y130要使|PM|最小，只要|PO|最小即可当直线PO垂直于直线2x4y30，即直线PO的方程为2xy0时，|PM|最小，此时点P即为两直线的交点，由得故当|PM|取得最小值时，点P的坐标为答案：