1、班级 姓名 学号 分数 (测试时间:120分钟 满分:160分)一、填空题(共14小题,每小题5分,共70分)1已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程是_【答案】【解析】试题分析:由题意可知,因此方程为考点:椭圆的方程及性质2过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线分别交于,两点(点在轴上方), 【答案】3考点:抛物线的简单性质3以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 【答案】【解析】试题分析:椭圆 的顶点为,焦点为双曲线的焦点坐标是,顶点为,故双曲线的双曲线方程为 考点:椭圆、双曲线的标准方程及其性质4椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则的
2、面积为 .【答案】【解析】试题分析:设,根据勾股定理,解得,所以考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的焦点三角形.5已知双曲线,点为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则的值为_【答案】考点:1双曲线的定义;2勾股定理;3两数和差的完全平方式6如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】1.2【解析】试题解析:如图:建立平面直角坐标系,设抛物线方程为:,因为抛物线经过,可得,所以抛物线方程:,横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为:,等腰梯形的面积为:,当前最大流量的横截面的面积,原始的最大流量与
3、当前最大流量的比值为:考点:直线与圆锥曲线的关系7设是双曲线的左、右焦点,是双曲线与椭圆的一个公共点,则的面积为_.【答案】24考点:1.椭圆双曲线定义;2.椭圆双曲线的几何性质8双曲线与椭圆的中心在原点,其公共焦点在轴上,点是在第一象限的公共点若,的离心率是,则双曲线的渐近线方程是 【答案】【解析】试题分析:作出简图所图所示,由题意,得,因为椭圆的离心率为,则,解得,由双曲线的定义,得双曲线的离心率,即,解得,即双曲线的渐近线方程为考点:1椭圆与双曲线的定义;2椭圆与双曲线的离心率;3双曲线的渐近线9已知椭圆:,点与的焦点不重合,若关于的两焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则 【答案】16
4、考点:椭圆的定义与标准方程.10如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行若用和分别表示椭圆轨道和的焦距,用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出下列式子:; ; ; 其中正确的式子序号是_【答案】整理得成立考点:椭圆图像及性质11如图,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、两点,若为等边三角形,则该双曲线的离心率为 【答案】考点:1、双曲线的概念;2、双曲线的简单几何性质;12已知,
5、是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率,则 【答案】4【解析】试题分析:不妨设椭圆的标准方程为: ,双曲线的标准方程为:公共焦点 ,则有: 考点:1、椭圆的定义、标准方程与简单几何性质;2、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质.13点P是双曲线 上一点,是右焦点,且为等腰直角三角形(O为坐标原点),则双曲线离心率的值是 【答案】或【解析】试题分析:当时,如图,连接,又为等腰直角三角形,所以,所以, 即;PxyOF1F考点:1双曲线的简单几何性质;2解三角形14给出下列命题:若,则函数在处有极值;是方程表示椭圆的充要条件;若,则的单调递减区间为;双曲线的
6、离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为.其中为真命题的序号是 .【答案】 【解析】试题分析:是错误的,如,此时,但函数在上恒成立,函数在上单调递增,此时并不是函数的极值点;方程表示椭圆的充要条件是且,而不是,因为当时,方程即表示圆心在原点,半径为的圆,所以错误;对于,由,所以的单调递减区间为,故正确;对于,所以,当且仅当时等号成立,所以正确;综上可知真命题的序号是.考点:1.极值的定义;2.充分必要条件;3.函数的导数与单调性;4.双曲线的几何性质.二、解答题(本大题共6小题,共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.求与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程【答案】考点:
7、圆锥曲线的性质16.已知点A(0,2),椭圆E: (ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程【答案】(1) (2)yx2或yx2因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,满足0,所以,当OPQ的面积最大时,k,l的方程为yx2或yx2考点:1椭圆方程与离心率;2直线与椭圆相交的有关弦长距离问题;3函数求最值问题17.如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线 连接而成,的公共点为,其中的离心率为.()求的值;()过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.【答案】(); (
8、) . ()因为,若过点的直线斜率不存在时,不满足题意,所以直线斜率存在, 设直线的斜率为,则直线的方程为,设,联立 ,所以,所以 联立 所以,所以 由 化简得,所以,所以直线的方程为即 。考点:1.椭圆的标准方程及性质;2.抛物线的标准方程及性质;3.直线与圆锥曲线的位置关系.18.已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为()求椭圆的方程;()设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值【答案】();(). ,设,则,所以面积的最大值为.()方法一:不妨设的方程,则的方程为.由得,设,因为,所以,同理可得,所以,设,则,当且仅当时取等号,所以面
9、积的最大值为.考点:1.直线与椭圆;2.最值问题.19.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆E: (ab0)的左、右顶点分别为A1、A2,上、下顶点分别为B1、B2设直线A1B1的倾斜角的正弦值为,圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称(1)求椭圆E的离心率;(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系,并说明理由;(3)若圆C的面积为,求圆C的方程【答案】(1);(2)相切;(3)试题解析:解:(1)设椭圆E的焦距为2c(c0),因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为,所以,于是a28b2,即a28(a2c2),所以椭圆E的离心率(2)由,可设a4k(k0),ck,则bk,于是A1B1的
10、方程为x2y4k0,故OA2的中点(2k,0)到A1B1的距离d又以OA2为直径的圆的半径r2k,即有dr,所以直线A1B1与圆C相切考点:椭圆E的离心率,直线与圆位置关系20如图,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于点D、E(1)求C1、C2的方程;(2)求证:MAMB(3)记MAB,MDE的面积分别为S1、S2,若,求的取值范围【答案】(1),;(2)证明略;(3).试题解析:(1)椭圆C1的离心率e=,a2=2b2(1分)又x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长,得b=1,a2=2,可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x21;(2)设直线AB方程为y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),则由消去y,得x2kx1=0x1+x2=k,x1x2=1,可得y1+y2=k(x1+x2)=k2,y1y2=kx1kx2=k2x1x2=k2M坐标为(0,1),可得,=x1x2+y1y2+y1+y2+1=1k2+k2+1=0因此,即MAMB(3)设直线MA方程为y=k1x1,直线MB方程为y=k2x1,且满足k1k2=1考点: 1.直线与圆锥曲线的关系;2.椭圆的标准方程;3.抛物线的标准方程