1、完善提高融会贯通典例(2014扬州期末)已知椭圆K1 :+=1(ab0)的右焦点F(c,0),抛物线K2:x2=2py(p0)的焦点为G,椭圆K1与抛物线K2在第一象限的交点为M,若抛物线K2在点M处的切线l经过椭圆K1的右焦点,且与y轴交于点D.(典例)(1) 已知点M(2,1),求c的值;(2) 求a,c,p的关系式;(3) 试问:MDG能否为正三角形?若能,请求出椭圆的离心率;若不能,请说明理由.【思维引导】【规范解答】(1) 已知点M(2,1),则抛物线的方程是x2=4y,即y=,其在点M处的切线方程为y-1=x-2,它与x轴的交点为(1,0),所以c=1.(2) 设点M(x0,y0)
2、(x00),则y0=.因为y=x2,所以y=.所以切线l:y-=(x-x0),即y=x-.令x=0,得点D.因为切线l过右焦点F,所以x0=2c,则y0=.因为点M在椭圆上,所以+=1. 8分(3) 方法一:由(2)知点M,D,因为G为抛物线的焦点,所以MG=y0+=+,GD=yG-yD=+.所以GD=MG,即MDG为等腰三角形.若MDG为等边三角形,则直线MD的倾斜角为30,即直线MD的斜率为,即=. 12分当2c=p时,p=2c,代入+=1,得12c4-16a2c2+3a4=0,即12e4-16e2+3=0,得e2=或e2=(舍去),所以e=.故MDG能为正三角形,此时椭圆的离心率为. 1
3、6分方法二:因为G为抛物线的焦点,所以MG=y0+=+,GD=yG-yD=+.所以GD=MG,即MDG为等腰三角形.又因为点M在椭圆上,假设MDG能为正三角形,则需x0=GD,且+=1.由x0=GD,得x0=,将x0=2c代入并化简得4c2-pc+p2=0,所以(2c-p)=0,所以2c=p或2c=p. 10分当2c=p时,对应的MDG是顶角为120的等腰三角形,不合题意,舍去; 12分当2c=p时,p=2c代入+=1,得12c4-16a2c2+3a4=0,即12e4-16e2+3=0,得e2=或e2=(舍去),所以e=.故MDG能为正三角形,此时椭圆的离心率为. 16分变式已知椭圆+=1(a
4、b0)的右焦点为F1(2,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上.(1) 求证:点A在某一个定圆上运动;(2) 记直线AB的斜率为k,若k,求椭圆离心率e的取值范围.【解答】(1) 设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),故M,N.由题意,得=0,从而-=0,即+=4,所以点A在以原点为圆心,2为半径的圆上运动.(2) 设A(x0,y0),则即消去x0,得+=(1+k2).将e=,b2=a2-c2=-4,代入上式整理得k2(2e2-1)=e4-2e2+1.因为e4-2e2+10,k20,所以2e2-10,解得e.因为k2=3,化简得解得0,所以e-1.故椭圆的离心率e的取值范围为.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第3134页.
