1、要点导学各个击破线面基本位置关系的真假判断例1下列命题中正确的是.(填序号)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行;若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行;若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行.【分析】判断命题的真假与否的前提是正确理解各个定理,关键在于灵活转化各种线面关系,还要熟悉各种关于线面的常见真假关系.解决问题时不要先“想当然”,而要多些“逆反思维”,如本题中可以考虑满足条件的直线是否可以“不平行”等.【答案】【解析】中两条直线的位置关系不确定;中两个平面可以相交;中与同一个平
2、面都垂直的两个平面的位置关系也不确定.所以只有正确.【点评】判断命题真假的常见方法有:(1) 根据一些已有定理直接进行判定或证明;(2) 利用常见模型进行判断;(3) 举反例判断.变式(2014辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,则下列说法正确的是.(填序号)若m,n,则mn;若m,n,则mn;若m,mn,则n;若m,mn,则n.【答案】【解析】中直线m,n位置关系不确定;中直线n可能在平面内;中直线n与平面位置关系也不确定;只有正确.平行和垂直的证明例2如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC, PA=6, BC=8,DF=5.求证:(例2
3、)(1) 直线PA平面DEF;(2) 平面BDE平面ABC.【分析】要证线面平行,可先证线线平行,题中可证DEPA.要证面面垂直,可先证线面垂直,题中可先证DE平面ABC.【解答】(1) 因为D,E分别为PC,AC中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以PA平面DEF.(2) 因为D,E分别为PC,AC的中点,所以DE=PA=3.因为E,F分别为AC,AB中点,所以EF=BC=4.因为DE2+EF2=DF2,所以DEF=90,所以DEEF.因为DEPA,PAAC,所以DEAC.因为ACEF=E,所以DE平面ABC.因为DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.【点评】(1
4、) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.(2) 证明线面平行的关键是证线线平行;证明面面垂直可先证明线面垂直.掌握并能熟练应用线面之间的判定定理与性质定理,进行正确合理的转化,是解决此类问题的关键.变式(2014湖北卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1) 直线BC1平面EFPQ;(2) 直线AC1平面PQMN.(变式)【解答】(1) 如图,连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD1BC1.(变式)因为F,P分别是
5、AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2) 如图,连接AC,BD,A1C1,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1A1.而AC1平面ACC1A1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.线面位置关系的简单综合例3(2013浙江卷改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2, AD=CD=,PA=,ABC=120,
6、G为线段PC上的点.(1) 求证:BD平面PAC;(2) 若PC平面BGD,求的值.(例3)【分析】(1)中易证BDPA,要借助ABD=60与BAC=30说明BDAC,即位置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求的值,即先分别求得PG,GC的值,这要借助勾股关系与方程思想.【解答】(1) 由已知得ABC是等腰三角形,且底角等于30.由AB=CB,AD=CD,BD=DB,得ABDCBD,所以ABD=CBD=60且BAC=30,所以BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDPA,所以BD平面PAC.(2) 由已知得PC=,因为PC平面BGD,所以PCGD.在PDC中,PD=,
7、CD=,PC=,设PG=x,则CG=-x,所以PD2-PG2=CD2-CG2,即10-x2=7-(-x)2.所以PG=x=,GC=,所以=.【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外,借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当了解与关注.数量运算主要还是体现在垂直上,即有勾股关系的适当介入.变式(2014新课标全国卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(变式)(1) 求证:直线PB平面AEC;(2) 设AP=1,AD=,三棱锥P- ABD的体积V=,求点A到平面PBC的距离.【解答】(1) 设BD与AC的交点为O,连接EO.(变式)因为底面
8、ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2) 因为三棱锥P-ABD的体积V=PAABAD=AB,由V=,可得AB=.作AHPB交PB于点H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.因为PBBC=B,所以AH平面PBC.又AH=,所以点A到平面PBC的距离为.1. 给出下列命题:若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;若两条平行直线中的一条垂直于直线m,则另一条直线也垂直于直线m;若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一
9、个平面也不垂直.其中真命题为.(填序号)【答案】【解析】对于,应该是“两条相交直线”时,命题为真.2. (2014浙江卷改编)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是.(填序号)若mn,n,则m;若m,则m;若m,n,n,则m;若mn,n,则m.【答案】3. (2014徐州一检)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB,点E,F分别是棱PC,AC的中点.(第3题)(1) 求证:直线PA平面BEF;(2) 若平面PAB平面ACB,PBBC,求证:BCPA.【解答】(1) 在PAC中,因为E,F分别是PC,AC的中点,所以PAEF.又PA平面BEF,EF平面BEF,所以PA平面
10、BEF.(2) 取AB的中点D,连接PD.因为PA=PB,所以PDAB.因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD平面PAB,所以PD平面ABC.又BC平面ABC,所以PDBC,又PBBC,PDPB=P,PD平面PAB,PB平面PAB,所以BC平面PAB.又PA平面PAB,所以BCPA.4. (2014苏州调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD平面ABCD,M为PC中点.求证:(1) PA平面MDB;(2) PDBC.(第4题)【解答】连接AC交BD于点O,连接OM.因为M为PC的中点,O为AC的中点,所以MOPA.因为MO平面MDB,PA平面MD
11、B,所以PA平面MDB.(2) 因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD,BCCD,所以BC平面PCD.因为PD平面PCD,所以BCPD.5. 如图,在三棱锥P-ABC中,BC平面PAB.已知PA=AB,点D,E分别为PB,BC的中点.(第5题)(1) 求证:AD平面PBC;(2) 若点F在线段AC上,满足AD平面PEF,求的值.【解答】(1) 因为BC平面PAB,AD平面PAB,所以BCAD.因为PA=AB,D为PB的中点,所以ADPB.因为PBBC=B,所以AD平面PBC.(2) 如图,连接DC,交PE于点G,连接FG.(第5题)因为AD平面PEF,AD平面ADC,平面ADC平面PEF=FG,所以ADFG.因为点D为PB的中点,点E为BC的中点,连接DE,则DE为BPC的中位线,所以DEGCPG,所以=,所以=.
