1、两江中学20192020学年度下学期6月质量检测高二年级理科数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.2. 请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）.第I卷 选择题一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1.（ ）A. 10B. 15C. 60D. 20【答案】C【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】解：，故选：C【点睛】考查排列数的计算以及运算求解能力；基础题.2.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分子分母同时乘以分母的共
2、轭复数即可求解.【详解】.故选：B【点睛】本题考查复数代数形式除法运算，属于基础题.3.在空间直角坐标系中，已知，则（ ）A. 3B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，属于基础题.4.某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知，线性回归方程过样本中心，所以只有C选项满足选C.
3、【点睛】线性回归方程过样本中心，所以可以代入四个选项进行逐一检验5.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求出此二项展开式的通项，令即可求得的系数.【详解】因为的展开式通项为，所以的展开式中的系数为.故选：A【点睛】本题考查求二项展开式中指定项的系数，属于基础题.6.函数的单调递减区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】 所以单调递减区间是，选D.7.如果随机变量，且， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，正态曲线是一个关于对称的曲线，而标准差，直接利用对称性写出概率即可.【详解】由题意，随机变量，则，所以，.故选：B.
4、【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位8.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用条件概率公式，即可求得结论【详解】解：设A事件为该地区下雨，B事件为该地区刮风，由题意得，P（A），P（AB），则，故选：C【点睛】本题考查求条件概率以及学生的计算求解能力；属于基础题9.在正方体中，已知分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直
5、角坐标系求解即可.【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设直线与所成角为，则.故选：B【点睛】本题主要考查了根据空间直角坐标系求解空间中线线夹角的问题，属于基础题.10.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得.所以，所以切线斜率为3又时，所以在点的切线方程为，即.故选A.11.某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先将四名学生分成两组，再分配到6个班中的两个班求解即可.【详解】先将四名学生分成两组，共
6、种情况，再分配到6个班中的两个班，故共种方案.故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用，注意分组时会有重复，所以要乘以.属于基础题.12.函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用所给不等式判断的符号推出的单调性，利用的单调性即可比较函数值的大小.【详解】因为，所以，由可得，即，令，则，所以函数在上为减函数，则，则，所以.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数单调性的应用，属于中档题.第II卷 非选择题二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为_【答案】1【解析】【分析】根据
7、微积分基本定理，可直接计算出结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查求定积分，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.14.已知虚数单位，若，则b=_【答案】【解析】【分析】分子分母同时乘以i再根据复数相等的充要条件即可得解.【详解】，且，故答案为：3【点睛】本题考查复数的除法运算、复数相等的充要条件，属于基础题.15.已知正四棱锥P-ABCD侧棱与底面所成角为60，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是_【答案】45【解析】【详解】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为，D，P，M，所以，所以DM与平面PA
8、C所成角为45.16.已知函数的导函数是偶函数，若则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求函数的导数，利用函数的奇偶性求出a的值，求函数的导数，判断函数导数的最小值，数形结合进行求解.【详解】，因为是偶函数，所以，即，可得，所以，则，因为，当且仅当即时取等号，所以当时，函数为增函数，且过原点的切线斜率最小为2，要使成立，则.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性的应用、导数的求解、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义，属于较难题.三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）单调递增区间；
9、单调递减区间；（2）【解析】【分析】（1）利用导数求单调性即可；（2）由（1）得出在上的单调性，进而得出最大值.【详解】（1）令，解得或或，单调递增，单调递减的单调增区间为：，的单调减区间为：（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增函数的最大值为【点睛】本题主要考查了利用导数求单调性以及最值，属于中档题.18.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，求这名同学在5次投篮中，（1）至少有1次投篮命中的概率. （2）设投篮命中的次数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求解；（2）由独立重复试验的概率计算公式求出
10、当时的概率，列出分布列，再由二项分布的期望公式求出期望.【详解】（1）设5次投篮至少有1次投篮命中为事件A，则；（2）由题意知X的可能取值为：0,1,2,3,4,5所以X的分布列为：，.【点睛】本题考查对立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、独立重复试验的概率计算公式，属于中档题.19.已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）函数的递减区间为，递增区间为,（2）【解析】【分析】（1）求导后，令，得递减区间，令，得递增区间；（2）将问题转化为在区间内恒成立，再分离变量可得在区间内恒成立，转化为，再根据二次函数求出最小值即可得到结果.【
11、详解】（1）时，令，得，解得；令，得，解得，所以函数的递减区间为，递增区间为.（2）因为，且在区间内单调递增，所以在区间内恒成立，所以，即在区间内恒成立，令，则，因为在区间内为增函数，所以时，所以.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，属于基础题.20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.（1）证明：PABD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【详解】试题解析：（1）DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而
12、BD2+AD2=AB2故BDAD，即BD平面PAD，故PA BD（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系则A（1，0，0），B（0，0），C（-1，0），P（0，0，1）设平面PAB的法向量，则，解得平面PBC的法向量，则，解得考点：本题考查线线垂直 二面角点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性21.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为（1）求出直角坐标系中的方程和圆心的极坐标；（2）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点），求长度【答案】（1），圆心的极坐标为；（2）【解析】【分析】（1）由
13、极坐标与直角坐标的互化即可得解；（2）由极坐标中的几何意义可得，代入求解即可.【详解】解：（1）由直线的极坐标方程为，则，即直线的直角坐标系方程为， 又圆的方程为，即直角坐标系方程为，则该圆圆心坐标为（0，2），即圆心的极坐标为. （2）由题意有.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，重点考查了极坐标的应用，属基础题.22.从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似
14、为样本平均数，近似为样本方差（）利用该正态分布，求；（）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（）的结果，求附：若，则，【答案】（1）平均数=140；（2）（）0.3413（）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的数据结合平均数和方差公式直接计算即可；（2）（）由（1）中数据知，计算出答案即可；（）依题意知服从二项分布，由二项分布的直接计算即可.【详解】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为（2）（）由（1）知，从而（）由（）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知服从二项分布，所以【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题.
