1、第2课时 椭圆标准方程及性质的应用 内 容 标 准 学 科 素 养 1.2.3.01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练 基础 认识 知 识点 一 点与 椭圆 的位 置关 系 提 示：三种 已 知点 P(x0，y0)，圆 C：(x a)2(y b)2r2(r0)点 P 在 圆上(x0a)2(y0b)2r2，点 P 在 圆内(x0a)2(y0b)2r2.x24 y23 1 P11 32 P21 34 P3(1,2)P4123.提 示：直线 x 1 与 椭圆 的交 点为1，32 323432，32 2332，点 P1在椭 圆上，P2、P4在 椭圆 内，
2、P3在 椭 圆外，如 图所 示 知 识梳 理 P(x0 y0)x2a2 y2b2 1(ab0)P x20a2 y20b2 1 P x20a2 y20b21.知 识点 二 直线 与椭 圆的 位置 关系 提 示：几何 方法：设 圆心 到直 线的 距离 为 d，圆 的半 径为 r.则 dr 直线 与圆 相离 代 数方 法：直线 方程 与圆 的方 程联 立方 程组：0 相 交，0 相 切，0 相离 提 示：不 能，只 能 用 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组 判 断 其 解 的 个 数 来 判 定 知 识梳 理(1)y kx m x2a2 y2b2 1(ab0)y kx m x2
3、a2 y2b2 1 y x 0 0 0(2)l 1 k2|x1 x2|1 k2 x1 x22 4x1x2 1 1k2 y1 y22 4y1y2 x1 x2(y1 y2)(3)P0(x0 y0)k()AB A(x1 y1)B(x2 y2)x21a2 y21b2 1x22a2 y22b2 1x21 x22a2 y21 y22b2 0 x1 x2x1 x2a2 y1 y2y1 y2b2 0 2x0 x1 x2a2 2y0k x1 x2b2 0 x0a2 y0kb2 0.自我 检测 1(3,2)x2a2 y2b2 1 A(3 2)B(3 2)C(3,2)D(3 2)(3 2)(3,2)答 案：C 2
4、y x 1 x2 y22 1()A B C D 答 案：C 3 y x 1 x24 y22 1()A.23 53 B.43 73 C.23 13 D.132172 答 案：C 教材 P49习题 2.2A 组 8 题 x24 y29 1 32.(1)(2)解 析：设这 组平 行直 线的 方程 为 y 32x m，把 y 32x m 代入 椭圆 方程x24y291，得 9x26mx 2m218 0.这个 方程 根的判 别式 36m236(2m218)(1)由 0，得3 2m3 2.当 这组 直线在 y 轴上 的截 距的取 值范 围是(3 2，3 2)时，直 线与 椭圆 相交(2)设 直线 与椭 圆
5、相交 得到 线段 AB，并设 线 段 AB 的 中点为 M(x，y)，则 x x1x22m3.因为点 M 在直 线 y 32x m 上，与 x m3联 立 消去 m，得 3x 2y 0.这 说明点 M 的 轨迹 是这 条直 线被 椭圆 截下 的弦(不包 括端 点)，因此 这些 弦的 中点 在一条 直线 上 例 1(1)l(3 1)C x225 y236 1 l C()A 1 B 1 2 C 2 D 0 解析 因为 直线 过 定点(3，1)且3225 1 2361，所 以 点(3，1)在椭 圆的 内部，故 直线 l 与 椭圆 有 2 个公 共点 答案 C(2)C F1(2 0)F2(2 0)P
6、6.C y x m m C F1PF2 90 PF1F2 解析 因为 椭圆 的焦 点是 F1(2，0)和 F2(2，0)，椭圆 上一 点到 两个 焦点 的距离 之和 为 6，所 以设 所求 的椭 圆方 程为x2a2y2b21(ab0)，所 以依 题意 有 c 2，a 3，所以 b2a2c232(2)27，所 以所 求的 椭圆 方程 为x29y271.由 x29y271，y x m得 16x218mx 9m263 0，由(18m)24 16(9m263)0 得 m2 16，则 4 m 4，所以当 m 4,4 时，直 线与 椭圆 C 有 公共 点 因为 点 P 是椭 圆x29y271 上 一点 所
7、以|PF1|PF2|6.又 因为 F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|28，由 得|PF1|PF2|14，所以 PF1F2的 面积 S 12|PF1|PF2|7.方 法技 巧 代数 法判 断直 线与 椭圆 的位 置关 系 判 断 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，通 过 解 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 组 成 的 方 程 组，消 去 方 程 组中的一个变量，得 到关于另一个变量 的一元二次方程，则 0 直 线 与 椭 圆 相 交；0 直 线与 椭圆相 切；0 直线与 椭圆 相离 跟 踪探 究 1.x2a2 y2b2 1(ab0)22
8、 y kx x0 b k()A.22 B 22 C.12 D 12 解 析：由题 意得 直线 y kx 与椭 圆的一 个交 点坐 标为(b，kb)，ca22a2b2c2b2a2k2b2b21 解得 k 22，故选 B.答 案：B 2 xOy(0 2)k l x22 y2 1 P Q k 解 析：由已 知条 件知 直 线 l 的 方程 为 y kx 2，代 入椭 圆方 程得x22(kx 2)21，整 理得12k2x22 2kx 1 0，直线 l 与椭 圆有 两个 不同 的交 点 P 和 Q 等 价于 8k2412k24k220，解得 k22，所以 k 的取 值范 围为，2222，.教材 P48练
9、习 7 题 x22 y2 1 F1 60 l l A B AB 解 析：由椭 圆的 方程 知 F1(1,0)，直线 l 的方程 y tan 60(x 1)3(x 1)与 椭圆 的方 程联 立，并消 去 y 得 7x212x4 0.由 根与 系数 关系，知 xAxB127，xAxB47，|AB|1 3 xAxB24xAxB 4 12721678 27.例 2 x24 y23 1 F1 F2 l F1 A B(1)ABF2(2)l 4|AB|AB 解析(1)因为 椭 圆 的方 程为x24y231，所以 a 2，b 3，c 1.由 椭圆 的定 义，得|AF1|AF2|2a 4，|BF1|BF2|2a
10、 4，又|AF1|BF1|AB|，所以 ABF2的 周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a 8.(2)由(1)可知，F1(1,0)，因为 AB 的倾 斜角为4，所以 AB 的斜率 为 1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，故 直线 AB 的 方程 为 y x 1.联立 y x 1，x24y231，整 理得 7y26y 9 0，由 根与 系数 的关 系，得 y1y267，y1 y297.x1x2y1y22 87.由弦长公式，得|AB|1 1k2|y1 y2|1 1k2 y1y224y1y2 2 6724 97247.AB 的 中 点为x1x22，y1y22，即47，37.方 法技 巧
11、 1.直线被 椭圆 截得 的弦 长的 求解 思路(1)求 两交 点坐 标，转 化为 两点 间距 离(2)用 公式 来求 设直 线斜 率为 k，直线 与椭 圆两 交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1 k2|x1x2|1 1k2|y1y2|.注 意：在 解 决 直 线 与 椭 圆 相 交 问 题 时，一 般 要 消 元 化 为 一 元 二 次 方 程，常 用 根 与 系 数的 关系，此 时易 忽视 对所 化一 元二 次方 程判 别式 大于 0 的 讨论 2 椭圆 中点 弦问题 的两 种解 法(1)一 元 二 次方 程根与 系 数的 关 系法：利 用 一元 二 次方 程根 与 系
12、数 的 关系 及中 点 坐标 公式 来构 造(2)点 差 法：利 用点在 曲 线上，坐标 满足 方 程，作 差构 造出 中 点坐 标 和 斜 率，基 本步 骤如 下：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的 中点 M(x0，y0)，则有 2x0 x1x2,2y0y1y2，又 kABy1y2x1x2.因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭 圆上，所以x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式 相减 得 b2(x21x22)a2(y21y22)0，即y21y22x21x22b2a2，所以 kABy1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0.跟 踪探 究 3.C
13、F1(2 2 0)F2(2 2 0)6 y x 2 C A B(1)AB(2)OAB 解 析：(1)设椭 圆 C 的 方程 为x2a2y2b21，由题意 a 3，c 2 2，于是 b 1，所 以椭 圆 C 的方 程为x29y21.由 y x 2，x29y21，得 10 x236x 27 0.因 为该 一元 二次 方 程的 0，所以点 A，B 不同，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2185，y1y2(x12)(x22)25，故线 段 AB 的 中 点坐 标为95，15.(2)设点 O 到直线 y x2 的距 离为 d，则 d|0 0 2|2 2.又由(1)知 x1x22710，
14、所以|AB|1 k2x1x224x1x2 218524 27106 35，故 SAOB12 2 6 353 65.阅 读教 材 P47例 7 x225 y29 1 l 4x 5y 40 0.l (1)l l(2)l l l l(3)l y x 0 l l l 例 3 4x2 y2 1 y x m.(1)m(2)解析(1)由 4x2y21，y x m 得 5x22mx m21 0，因 为直 线与 椭圆 有公 共点，所以 4m220(m21)0，解得 52 m 52.(2)设 直 线与 椭圆交 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mx m21 0，所以 x1x22m5，
15、x1x215(m21)，所以|AB|x1x22 y1y22 2 x1x22 2 x1x224x1x2 24m22545m21 2510 8m2.所以当 m 0 时，|AB|最 大，即 被椭圆 截得 的弦 最长，此 时直 线方 程为 y x.方 法技 巧 椭圆 中的 最值 与范 围问 题的 常见 求法(1)几 何 法：若 题目中 的 条件 和 结论 能明 显 体现 几 何特 征和 意 义，则 考虑 利用 图 形性 质来 解题(2)代 数法：若题 目条 件和 结论 能体 现一 种明 确的 函数 关系，则可 首先 建立起 目标 函数，再 求这 个函 数的 最值 在 利用 代数 法解 决最 值与 范围
16、 问题 时常 从以 下五 个方 面考 虑：利用 判别 式来 构造 不等 关系，从 而确 定参 数的 取值 范围；利 用 已 知 参 数 的 范 围，求 新 参 数 的 范 围，解 决 这 类 问 题 的 核 心 是 在 两 个 参 数 之 间 建立 等量 关系；利用 隐含 或已 知的 不等 关系 建立 不等 式，从而 确定 参数 的取 值范 围；利用 基本 不等 式求 出函 数的 取值 范围；利用 函数 值域 的求 法，确定 参数 的取 值范 围 跟 踪探 究 4.C x2a2 y2b2 1(ab0)F1 F2 e 22 4 2.(1)C(2)A B l x 2 2 AF1 BF2 0|AB|
17、解 析：(1)由题 意得 e ca22，a2b2c2，S 122 a2 b4 2，解得 a2，b 2，c 2.所 以椭 圆的 标准 方程 为x24y221.(2)由(1)知，F1，F2的 坐标 分别 为 F1(2，0)，F2(2，0)，设直线 l：x 2 2 上的 不同 两点 A，B 的 坐标 分别 为 A(2 2，y1)，B(2 2，y2)，则AF1(3 2，y1)，BF2(2，y2)由AF1 BF2 0，得 y1y26 0，即 y26y1.不妨设 y10，则|AB|y1y2|y16y1 2 6，当 y1 6，y2 6 时 取 等号，所以|AB|的 最小 值是 2 6.课后 小结(1)(2)
18、素养 培优 1 建立 目标 函数求 椭圆 中的 最值 与范 围问 题 A B x236 y220 1 F P x PA PF.(1)P(2)M AB M AP|MB|M d 解 析：(1)由已 知可得 A(6,0)，F(4,0)，设点 P 的 坐标 是(x，y)，则AP(x6，y)，FP(x4，y)由 已知 得 x236y2201，x 6x 4 y20.消去 y 得 2 x29x 18 0，解得 x32或 x6.由于 y0，只能 x 32，于是 y 523.故点 P 的 坐 标是32，523.(2)直线 AP 的方 程是 x 3y 6 0.设点 M 的 坐标 是(m,0)，则点 M 到直线 A
19、P 的 距离 是|m 6|2，于是|m 6|2|m 6|.又6 m 6，解得 m 2.设 椭圆 上的 点(x，y)到点 M 的 距离 为 d，有 d2(x 2)2y2x24x 4 20 59x249x 92215.由 于6 x 6，因此当 x 92时，d 取 最小 值 15.即 椭圆 上的 点到 点 M 的 距离 d 的最 小值 为 15.2 运用 设 而不求 法 研究 直线 和椭 圆的 位置 关系 x2a2 y2b2 1(ab0)A(a,0)B(0 b)6 32.(1)(2)D(1,0)E F ED 2DF EF(3)D(1,0)k y kx 2 P Q|DP|DQ|k 解 析：(1)由ba
20、33，12ab 12 32 a2b2，得 a 3，b 1，所 以椭 圆的方 程是x23y21.(2)设 EF：x my 1(m0)，代入x23y21，得(m23)y22my 2 0.设 E(x1，y1)，F(x2，y2)由ED 2DF，得 y12y2，由 y1y2y22mm23，y1y22y222m23得 2mm2321m23，m 1 或 m 1(舍去)，直线 EF 的方 程为 x y 1，即 x y 1 0.(3)记 P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)将 y kx 2 代入x23y21，得(3k21)x212kx9 0(*)，x 1，x 2是 此方 程的两 个相 异实 根 设 PQ 的 中点 为 M，则 xMx 1x 226k3k21，yMkxM2 23k21.由|DP|DQ|，得 DM PQ，kDMyMxM123k216k3k2111k，3k24k 1 0，得 k 1 或 k 13.但 k 1，k 13均 使方 程(*)没 有两 相异实 根 满足 条件 的 k 不存 在 04 课时 跟 踪 训练
