1、吉林省长春市十一高中2020-2021学年高二数学上学期第三学程考试试题 理第卷（共 60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（ ）A BCD2.已知函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能（ ）ABCD3.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是（ ）A-3B-2C-1D04.一个作直线运动的物体，它的位移 (米)与时间（秒）满足，如果它在秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等，则等于（ ）A B C D5.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，0），则的标准方程为（ ）A B CD6.动圆经过双曲线的
2、左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（ ）ABCD7.已知是三条直线，是三个平面，下列命题正确的是（ ）A若则B若则C若则D若则8已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，F是抛物线的焦点，那么与和的最小值是（ ）ABCD9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）ACC1与B1E是异面直线 BAC平面ABB1A1CAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1 DA1C1平面AB1E10已知直线上存在点满足与、两点连线的斜率与之积为3，则实数的取值范围是（ ）A BC D 11.已知定义在上的函数满足
3、，则不等式的解集为（ ）ABCD12.已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是个数的最小值为A1 B2个 C3个 D4个第卷（共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 14.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，点到的准线的距离与之积为25，则 15.如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA平面ABCD，且PA=若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为 . 16.如图，椭圆：的离心
4、率为，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点， ，若，则的取值范围是_三、解答题：本题共6小题,共70分.17.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程；18.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程（2）从原点向圆作切线，求切线方程.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在（0，+）单调递增，求实数的取值范围.20.已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为.（1）当直线的倾斜角为时，求抛物线的方程；（2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值.21如图1，在中，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使
5、，如图2，连结，（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点点是关于的对称点，的半径为设为的中点，与分别相切于点，求的最小值.理科答案ACADB BCBCD A B 13. 且14.4015. 3016. 【答案】17【详解】（1）得， 在点处的切线方程为，（2）设切点坐标为， ，则所以切线方程为，又过原点(0，0)，所以，解得或，当时，切线方程为当时，切线方程为.1
6、8.【详解】(1)解法一:设圆的方程为由题意: 又圆心在直线上故 ， 由解得:，圆的方程为:(或写成:)，解法二:由题意，圆心在的中垂线上，又在已知直线上，解得圆心坐标为，于是半径所求圆的方程为:;(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切当斜率存在时，设直线方程为代入得即令，解得，即切线方程为.对应切线长为.解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切；当斜率存在时，设直线方程为，因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式:可得解得.即切线方程为.对应切线长为.综上所述: 切线方程为,切线长为.19.（1），当时，所以在上单调递增；当时，令，得到
7、，所以当时，单调递增，当，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）， 因为在（0，+）单调递增，所以恒成立。所以，则有在（0，+）恒成立， 所以20.解（1）由题意知，设直线的方程为，由 得：，所以：又由，所以，所以：抛物线的方程为（2）由（1）抛物线的方程为，此时设消去得：，设，则：所以： ，即 所以：21如图1，在中，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（）求证：平面平面；（）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.试题解析：（）证：因为，分别为，中点，所以 /因为，所以所以因为，所以又因为 =
8、，所以 平面又因为平面，所以平面 平面 （）解： 因为，所以，两两互相垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有， 解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为设，则，即 所以，.易得平面的一个法向量为设平面的一个法向量，则有，即，令，则若二面角的余弦值为，则有，即，解得，又因为，所以故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据，两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用向量的方法建立角的关系.22. 【答案】（1）；（2）最小值为.【分析】（1）由题意得，可得，然后结合离心率为解出，则可求出，从而得到椭圆的标准方
9、程；（2）设，先解出点的坐标，通过对称得出点坐标，得出半径，然后联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理解出，则可得出点设的坐标， 然后连接设， ，运用两点间的距离公式求出，设，则，那么运用可得出关于的表达式，运用函数知识分析最值，并求出取得最值时的值，从而得出的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知，的周长为，又离心率为，因此椭圆方程为.（2）设，联立方程得，由，得(*)且，因此，所以，又，所以，整理得：，因为，所以.令，故，所以.令，所以当时，从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，由(*)得且，故，设，则，所以的最小值为.从而的最小值为，此时直线l的斜率为0.综上所述：当，时，取得最小值为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查最值问题的求解，比较困难解答的关键在于：（1）将计算的最值转化为计算正弦值的最值，然后在中，要设法表示出及的长度，利用来求解；（2）的最值求解可采用导数，或者通过配凑运用均值不等式来处理
