1、要点导学各个击破二阶矩阵的乘法例1已知距阵A=,B=,C=,求AB和AC.【分析】两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,其乘法法则如下:=.【解答】AB=,AC=.【点评】两个二阶矩阵的乘法满足结合律,即(AB)C=A(BC),但不满足交换律和消去律,即ABBA,以及由AB=AC不能得到B=C.常见的矩阵变换例2将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45,求所得曲线的方程.【分析】设xy=1上的任意点P(x,y)在变换矩阵M作用下为P(x,y),然后用x,y分别表示出x,y,再利用点P(x,y)在曲线xy=1上,代入得x,y的关系式即为所求.【解答】由题意,得旋转变换矩阵M=.设xy=1
2、上的任意点P(x,y)在变换矩阵M作用下为P(x,y),则=,所以代入xy=1,得-=1.故将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45,所得曲线的方程为-=1.【点评】本题解法本质上是采用坐标转移法,常见的变换矩阵需要熟悉.逆变换与逆矩阵例3若矩阵M=,N=,求矩阵MN的逆矩阵.【分析】由矩阵的性质知(MN)-1=N-1M-1,因此可以先求N-1和M-1;也可以先求MN再求其逆矩阵.【解答】方法一:因为M=为一伸缩变换对应的矩阵,所以M-1=.又因为N=也为一伸缩变换对应的矩阵,所以N-1=.由矩阵的性质知(MN)-1=N-1M-1=.方法二:由已知得MN=,所以MN的逆矩阵(MN)-1=.
3、【点评】求逆矩阵的常见方法:(1) 待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵,AB=BA=E;(2) 公式法:|A|=ad-bc,有A-1=,当且仅当|A|0;(3) 从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵;(4) 利用逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1.变式(2014宿迁模拟)已知矩阵A=将直线l:x+y-1=0变换成直线l.(1) 求直线l的方程.(2) 判断矩阵A是否可逆?若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.【解答】(1) 在直线l上任取一点P(x0,y0),设它在矩阵A=对应的变换作用下变为Q(x,y),则=,所以即又因为点P(x0,y0)在直线l:x+y-1=0上,所
4、以+-1=0,即直线l的方程为4x+y-7=0.(2) 因为0,所以矩阵A可逆.设A-1=,所以AA-1=,所以解得所以A-1=.特征值和特征向量例4给定矩阵A=,B=,求A4B.【分析】先求出矩阵A的特征值以及与其对应的特征向量,然后把列向量用矩阵A的两个特征向量作为一组基底线性表示,从而把矩阵与向量的运算转化为特征值与向量的运算.【解答】设A的一个特征值为,则=0,得(-2)(-3)=0,解得1=2,2=3.当1=2时,由=2,得A的属于特征值2的一个特征向量1=.当2=3时,由=3,得A的属于特征值3的一个特征向量2=.由于B=2+=21+2,故A4B=A4(21+2)=2(241)+(
5、342)=321+812=+=.【点评】求特征值和特征向量的方法:(1) 矩阵M=的特征值满足(-a)(-d)-bc=0,属于的特征向量a=满足M=.(2) 求特征向量和特征值的步骤:解f()=0得特征值;解取x=1或y=1,写出相应的向量.变式(2014福州质检)已知矩阵M=,向量=.(1) 求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;(2) 求M3.【解答】(1) 矩阵M的特征多项式为f()=2-3+2,令f()=0,得1=1,2=2.当1=1时,解方程组得一个非零解因此,矩阵M属于特征值1=1的一个特征向量为1=.当2=2时,同理可得矩阵M属于特征值2=2的一个特征向量为2=.(2)
6、 设=m1+n2,得解得m=1,n=2.所以M3=M3(1+22)=M31+2M32=1+22=+223=.1. 求函数y=x2在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线方程.【解答】设点(x,y)为函数y=x2图象上任意一点,经过矩阵M变换后对应点为(x,y),则=,所以x=x,y=4y,代入y=x2,得y=x2.所以曲线y=x2在矩阵M=变换作用下的曲线方程为y=x2.2. 设M是将坐标平面上的点的横坐标压缩为原来的、纵坐标压缩为原来的的伸压变换. 求矩阵M及椭圆+=1在M对应的变换作用下得到的新曲线的方程.【解答】由题意知M=,椭圆+=1在M的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.3. 用矩阵方法求二元一次方程组的解.【解答】已知方程组可以写为=,令M=,其系数行列式为=21-3(-5)=170,所以M-1=,所以=M-1=,即方程组的解为4. (2014扬州模拟)已知矩阵A=,向量b=,求向量a,使得A2a=b.【解答】A2=,设a=,由A2a=b,得=,即解得所以a=.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第45-46页.
