1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十五离散型随机变量的方差 (15分钟30分)1已知的分布列为1234P则D()的值为()A B C D【解析】选C.E()1234，D().2随机变量X的分布列如表：X123P0.5xy若E(X)，则D(X)等于()A B C D【解析】选D.由得所以D(X).3设随机变量X的分布列为X101P若Y2X2，则D(Y)等于()A B C D【解析】选D.由题意知，E(X)101，故D(X)，D(Y)D(2X2)4D(X)4.【补偿训练】 若样本数据x1，x2，x10的标准差
2、为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为()A8 B15 C16 D32【解析】选C.样本数据x1，x2，x3，x10，其标准差8，则D(X)64.而样本数据2x11，2x21，2x101的方差D(2x1)22D(X)2264，所以其标准差为16.4抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值与方差分别为()AE(X)0，D(X)1 BE(X)，D(X)CE(X)0，D(X) DE(X)，D(X)1【解析】选A.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的分布列为X11P0.50.5所以E(X)10.5(1)0.50，D(X)(10)20.5(1
3、0)20.51.5从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)3，则D(X)_【解析】由题意知，XB，所以E(X)53，解得m2，所以XB，所以D(X)5.答案：6根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率【解析】(1)由已
4、知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概
5、率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y3X5，则Y的标准差为()A B3 C D2【解析】选A.因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即XB，则X的方差D(X)3，所以Y的方差D(Y)32D(X)96，所以Y的标准差为.2若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(
6、X)，则x1x2的值为()A B C3 D【解析】选C.x1，x2满足解得或因为x1x2，所以x11，x22，所以x1x23.3某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的方差是()A90 B180 C270 D360【解析】选D.由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即B(1 000，0.1).而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X2，故方差为D(X)D(2)22D()41 0000.10.9360.4若随机变量的分布列为P(m)，P(n)a，若E()2，则D()的最小值等于()A0 B
7、2 C4 D无法计算【解析】选A.由于分布列中，概率和为1，则a1，a.因为E()2，所以2.所以m62n.所以D()(m2)2(n2)2(n2)2(62n2)22n28n82(n2)2.所以n2时，D()取最小值0.【误区警示】将D()视为n的二次函数求解二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知随机变量X的分布列为X101Pa则下列结论正确的是()AP(X0) BaCE(X) DD(X)【解析】选ABC.由分布列可知，P(X0)，a1，E(X)(1)01；D(X).6编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一
8、个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，则()A的所有取值是1，2，3 BP(1) CE()1 DD()1【解析】选BCD.的所有可能取值为0，1，3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(0)；1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(1)；3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(3).所以的分布列为013PE()0131.D()(01)2(11)2(31)21.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知离散型随机变量X的可能取值为x11，x20，x31，且E(X)0.1，D(X)0.89，则对应x1，x2，x3的概率p
9、1，p2，p3分别为_，_，_【解析】由题意知，p1p30.1，121p10.01p20.81p30.89.又p1p2p31，解得p10.4，p20.1，p30.5.答案：0.40.10.5【补偿训练】 若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为_【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)p(1p)，所以p(1p)0.25，解得p0.5.答案：0.58一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为_，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为_【解析】“
10、有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为p.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C.“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为X，依题意得P(X0)，P(X1)，P(X2).所以E(X)012，D(X).答案：【补偿训练】 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)_【解析】由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12.P(X6)，P(X9)，P(X12)，则E(X)69127.8，D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.答案：3.362从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学
11、校学生会的干部竞选设所选3人中女生人数为，则随机变量的方差D()_【解析】的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得：P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以E()012.D().答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差【解析】(1)X的可能值为0，1，2.若X0，表示没有取出次品，其概率为P(X0)，同理，有P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P所以E(X)012.D(X).(2
12、)Y的可能值为1，2，3，显然XY3.P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0).所以Y的分布列为Y123P所以YX3，所以E(Y)E(3X)3E(X)3，D(Y)(1)2D(X).10一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100
13、个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288；P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方
14、差D(X)30.6(10.6)0.72.1设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2).2A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，(100x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值【解析】(1
15、)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24；E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)DDD(Y1)D(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002).所以当x75时，f(x)取最小值3.【补偿训练】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年
16、，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，p1P(40X120)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率
17、为pC(1p3)4C(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如表：Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如表：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台关闭Word文档返回原板块
