1、第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2014重庆卷)下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x解析函数f(x)x1和f(x)x2x既不是偶函数也不是奇函数,排除选项A和选项B;选项C中f(x)2x2x,则f(x)2x2x(2x2x)f(x),所以f(x)2x2x为奇函数,排除选项C;选项D中f(x)2x2x,则f(x)2x2xf(x),所以f(x)2x2x为偶函数,故选D.答案D2(2014乌鲁木齐诊断)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,)(x1x2),有0,则()Af(3)f(2)f(1)Bf
2、(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)21,f(3)f(2)f(1),即f(3)f(2)f(1),故选A.答案A3已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(1)g(1)2,f(1)g(1)4,则g(1)等于()A4B3 C2D1解析由题意知:f(1)g(1)f(1)g(1)2,f(1)g(1)f(1)g(1)4,得g(1)3.答案B4(2014福建统一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在0,)上单调递增,若f(lg x)0,则x的取值范围是()A(0,1)B(1,10)C(1,)D(10,)解析依题意,函数f(x)在R上是增函数,且f(0)0,不等式f(
3、lg x)0f(0)等价于lg x0,故0x1,故选A.答案A5(2014山东卷)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)f(2ax),则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tan xDf(x)cos(x1)解析由f(x)f(2ax),yf(x)关于直线xa对称(a0),题中四个函数中,存在对称轴的有B,D,而B中f(x)x2的对称轴为x0,不满足题意,故选D.答案D二、填空题6函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)1,则当x0时,f(x)_.解析f(x)为奇函数,x0时,f(x)1,当x0时,x0,f(x
4、)f(x)(1),即x0时,f(x)(1)1.答案17(2014湖南卷)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数,则a_.解析由题意知,f(x)的定义域为R,所以f(1)f(1),从而有ln(e31)aln(e31)a,解得a.答案8(2014四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x1,1)时,f(x)则f_.解析f(x)的周期为2,ff,又当1x0时,f(x)4x22ff4221.答案1三、解答题9f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)2x23x1,求f(x)的解析式解当x0时, x0,则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数,故f(x)f(x),所以当
5、x0时,f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)f(x),当x0,2时,f(x)2xx2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)证明f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4,x4,2,4x0,2,f(4x)2(4x)(4x)2x26x8,又f(4x)f(x)f(x),f(x)x26x8,即f(x)x26x8,x2,4(3)解f(0)
6、0,f(1)1,f(2)0,f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.能力提升题组(建议用时:25分钟)11(2014石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5),则实数a的取值范围为()A(1,4)B(2,1)C(1,2)D(1,0)解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)f(1)f(1)
7、,即1,化简得(a4)(a1)0,解得1a4,故选A.答案A12(2015郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)x3x,则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为()A6B7 C8D9解析因为当0x2时,f(x)x3x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)0,所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0,所以f(3)f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.答案B13已知函数yf(x)为奇函数,且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x)当x(2,3)时,f(x)log2(x1)给出以下4个结
8、论:函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称;函数y|f(x)|是以2为周期的周期函数;当x(1,0)时,f(x)log2(1x);函数yf(|x|)在(k,k1)(kZ)上单调递增其中所有正确结论的序号为_解析因为f(2x)f(1(1x)f(x)f(x),所以f(x)的周期为2,因为f(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象也关于点(2,0)对称,先作出函数f(x)在(2,3)上的图象,然后作出在(1,2)上的图象,左右平移即可得到f(x)的草图如图所示,由图象可知f(x)关于点(k,0)(kZ)对称,故正确;由y|f(x)|的图象可知y|f(x)|的周期
9、为2,故正确;当1x0时,22x3,f(2x)log2(1x)f(x),即f(x)log2(1x),故正确;yf(|x|)在(1,0)上为减函数,故错误答案14设f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x.(1)求f()的值;(2)当4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(,)内函数f(x)的单调区间解(1)由f(x2)f(x)得,f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x),得:f(x1)2f(x1)f(x1),即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时,f(x)x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示当4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ),单调递减区间为4k1,4k3(kZ).