1、2014年广州市高考备考冲刺阶段（查缺补漏）数学学科训练材料（理科） 说明：1本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共26题2本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成3本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1在中，C-A=，sinA= （1）求s
2、inC的值；（2）若BC=，求的面积2已知函数f(x)3sin(x)(0，)的最小正周期为，且其图象经过点.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数g(x)，且g()1，g()，求g()的值3已知向量m(sin x,1)，n(Acos x，cos 2x) (A0)，函数f(x)mn的最大值为6（1）求A的值；（2）将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域4如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观
3、察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，CDCE100m （1）求CDE的面积；（2）求A，B之间的距离5某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组75，80)，第二组80，85)，第三组85，90)，第四组90，95)，第五组95，100，得到的频率分布直方图如图所示 75 80 85 90 95 100 分数0.010.020.040.060.070.030.05（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进
4、入第二轮面试已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第四组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望6右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（1）求直方图中x的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望7生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A81240328元件
5、B71840296（1）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望8电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是
6、否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.（参考数据与公式：，其中.）9如图，直四棱柱中，底面为菱形，且，E为延长线上的一点，面，设（1）求二面角的余弦值；（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由ABCD10如图，四棱锥中，/，（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由11如图
7、，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的一点，BAC=45，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=VC，E是AC的中点（1）求证：VO面ABC；（2）已知是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的平面角，且090，若OA=OV=1，求的值12如图1，已知的直径，点、为上两点，且，为弧的中点，将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）（1）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；图1图2（2）求二面角的正弦值13设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的及前项和；（3）试求所有的正整数，使得为数列中的项14设
8、数列、的前项和分别为、，且，（1）求数列、的通项公式；（2）把数列、的公共项从小到大排成新数列，求证：是等比数列；（3）设，求数列的前项和15已知数列满足，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和，问是否存在正整数、且，使得对一切恒成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；（3）设，求证：16已知是首项为，公差不为零的等差数列，的部分项、恰好为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：17已知函数，且对恒成立数列满足，（1）求的取值集合；（2）设，求数列的通项公式；（3）数列中，求证：（为自然对数的底数）18椭圆 C：(ab0)的离心率为 ，其左焦点到点
9、P(2,1) 的距离为 F2OxyPABF1A2l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线 l：y = kx + m 与椭圆 C 相交于A、B 两点(A、B不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标19抛物线 C：x 2 = 4y，直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F，交 x 轴于点 P.FOyxABPGD（1）求证：PF 2 = PAPB（2）过 P 作抛物线 C 的切线，切点为 D(异于原点)，kDA, kDF, kDB是否恒成等差数列，请说明理由；ABD 重心 G 的轨迹是什么图形，请说明理由OyPABF1F2xl20设点 P在
10、以 F1、F2 为左、右焦点的双曲线 C：= 1(a 0,b 0)上，PF2x轴，| PF2 | = 3，点 D为其右顶点，且 | F1D | = 3 | DF2 |（1）求双曲线 C 方程；（2）设过点 F2 的直线 l 与交于双曲线 C 不同的两点 A、B，且满足 | OA | 2 + | OB | 2 | AB | 2(其中 O为原点)，求直线 l 的斜率的取值范围21已知动圆 C 过定点M(0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E.COyAMlx（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l：xy2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分
11、别为 P、Q，求APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标22已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 M(1,) F2OyPMQF1x（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦，且 = l，求 PF1Q 内切圆面积最大时实数 l 的值23已知向量，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直，（1）求的值及的单调区间；（2）已知函数 (为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的取值范围24设，函数（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的
12、实数解，求实数的取值范围25已知函数在处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程恰有两个不同的实根，求实数的值；（3）数列满足，求的整数部分26已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案1（1）因为在中，C-A=，所以A为锐角，且所以sinC=sin(A+)=cosA=（2）由正弦定理得，所以因为在中，C-A=，所以C为钝角，且因为在中，所以所以的面积为2（1）因为函数f(x)的最小正周期为，且
13、0，所以，解得2.所以f(x)3sin(2x)因为函数f(x)的图象经过点，所以3sin0，得k，kZ，即k，kZ.由，得.所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin.（2）依题意有g(x)3sin=3cos x.由g()3cos 1，得cos ，由g()3cos ，得cos .因为，所以sin ，sin .所以g()3cos()3(cos cos sin sin ) 3.3（1）f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin.因为f(x)的最大值为6，且A0，所以A6.（2）由（1）知f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；再将所得图象
14、上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin的图象因此g(x)6sin因为x，所以4x，sin，所以g(x)所以g(x)在上的值域为3,64（1）在CDE中，DCE3609015105150所以CDE的面积为SCDECDCEsin150100100sin302500(m2)（2）连结AB在RtACD中，ACCD tanADC100tan 60100(m)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530由正弦定理得，所以100(m)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，又cosACBcos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60s
15、in 45，所以AB2(100)2(100)2210010010000(2)所以AB100(m)，所以A，B之间的距离为100 m5（1）第三组的频率为0.065=0.3，第四组的频率为0.045=0.2，第五组的频率为0.025=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有名学生.设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A，则P(A)=为所求.，且，.所以的分布列为：012P数学期望为.6（1）依题意得，解得.（2）依题意得，因此，.所以随机变量的分布列为：0123的数学期望为.7（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A有80件
16、，元件B有75件.所以元件A、B为正品的频率分别为，.根据频率可估计元件A、B为正品的概率分别为，.（2）设生产的5件元件中正品件数为，则有次品5件，由题意知，得，即设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件，则为所求随机变量的所有取值为150，90，30，30，则，所以的分布列为：1509030-30的数学期望为.8（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100假设：“体育迷”与性别没有关系.将列联表中的数据代入公式，计算得.当成立时，.因为，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关（
17、2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知，.所以的分布列为0123，.9（1）设=，如图所示建立空间直角坐标系，则设则平面即设平面的法向量为，则由 得 令，得平面的一个法向量为又平面的法向量为二面角的余弦值为（2）设得 面存在点使面 此时10（1）取线段中点，连结因为，所以因为，所以又因为，所以，而，所以因为，所以，即DPABCFE因为，且平面，所以平面（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：则，设，因为点在线段上，设，则 即，所以设平面的法向量为，则，所以，所以.因为直线与平面成角正弦值等于，所以
18、所以，即所以点是线段的中点11（1）VA=VB， ABC为等腰三角形又 O为AB中点， VOAB在VOA和VOC中，OA =OC，VO=VO，VA=VC，所以VOAVOC. V0A=VOC=90o. VOOC.AB平面ABC, OC平面ABC，ABOC=O，VO平面ABC（2）在圆O内，OA=OC，CAO=45o，所以COAO.由（1）VO平面ABC，如图，建立空间直角坐标系. OA=OB=OC=OV=1， C(1,0, 0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(,0).=(-1，-1，0), =(-1，0，1).设为平面VBC的法向量，则所以令，解得.同理，求得平面V
19、OE的法向量为.所以=，所以为所求12解法一（传统解法）：（1）取弧的中点，连接，则，故，又为弧的中点，所以平面，故平面平面则平面，因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点（2）过作于，连因为，平面平面，故平面又因为平面，故，所以平面，则是二面角的平面角，又，故由平面，平面，得为直角三角形，又，故，可得=，所以二面角的正弦值为解法二（向量解法）：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，点为弧的中点，点的坐标为，即设在弧上存在点，使得平面，又为弧的中点，即，所以平面平面平面，则有设，又，解得(舍去)，则为弧的中点因此，在弧上存在点，使得平面，且点为弧的
20、中点（2），点的坐标，设二面角的大小为，为平面的一个法向量由有即取，解得，取平面的一个法向量，所以二面角的正弦值为13（1）设公差为，则，由性质得因为，所以，即又由得，即联立解得，所以（2）由（1）知，当时，；当时，当时，；当时，.综上，.（3）=，令，则故为8的约数，又是奇数，的可能取值为当时，是数列中的第5项；当时，不是数列中的项所以满足条件的正整数14（1）当时，；当时，也满足上式，得，即.由得：，则.是首项为2，公比为2的等比数列，所以（2）显然，.假设，则，不是数列中的项；是数列中的第项.，从而.所以是首项为8，公比为4的等比数列（3），数列的奇数项组成首项为5，公差为6的等差数列；
21、数列的偶数项组成首项为4，公比为4的等比数列当为偶数时，.当为奇数时，经检验，当时上式也成立.综上所述，15（1）由，得数列是首项为，公差为的等差数列，即 ， 得，即由知，也满足上式，故（2）由（1）知，下面用“错位相减法”求 ， .得，又，则数列单调递增，故，从而因此，存在正整数、且，使得对一切恒成立（3）由（1）知，.16（1）设数列的公差为，由已知得，成等比数列，即，而等比数列的公比，故由，得（2）由（1）知，.当时，（也可用数学归纳法证明），. .当时，.当时，左边，不等式也成立.综上所述，不等式成立17（1）由得，故对恒成立等价于对恒成立设（），则由于，令，得当时，递增；当时，递减，
22、又，所以的取值集合为（2）由（1）知，.，.所以数列是首项为，公比为的等比数列（3）由（2）知，得则，又知，两边取自然对数，得，由（1）知，即对恒成立，把以上个是式子相加，注意到，得当时，也满足上式，所以18（1）由题：e = = 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = OxyPABF1F2A2l由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3所求椭圆 C 的方程为 （2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2
23、 = ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 0若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(
24、2,0)，不合题意舍去；若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 19（1）设A(2t1,t12)、B(2t2,t22)、D(2t0,t02)、G(x,y)，直线 AB 倾斜角为 a （t00）由抛物线方程x 2 = 4y得 F(0,1)由题意得直线 AB 斜率 k 存在且不为 0，所以 a0设直线 AB 的方程为 l：y = kx + 1代入C中化简得x 24kx4 = 0所以 x1 + x2 = 2t1 + 2t2 = 4k，x1 x2 = 2t1 2t2 = 4 t1 + t2 = 2k，t1 t2 = 1所以PF 2 = ( ) 2 = ，
25、PAPB = = = PF 2 = PAPB（2）l 中令 y = 0 ，得 x = ，所以 P(,0) 因为抛物线方程为 y = x 2 ，所以 = x 所以D 点处切线斜率为 2t0 = t0，D 点处切线方程为 yt02 = t0 (x2t0) 把 P 代入得 t0 = ，所以 D(, )kDA + kDB = + = (t1 + t2) + t0 = 2k= k，2kDF = 2= t0= kkDA + kDB = 2kDF 恒成立，即kDA, kDF, kDB恒成等差数列因为x = = (+ 2k) = (2k)，y = = t02 + (t1 + t2) 22t1 t2 = (+
26、4k 2 + 2) = (2k) 2 + 2，所以 y = x 2 + 2G的轨迹图形是抛物线20（1）由题意，得 = 3，a + c = 3 (ca)，且 c 2 = a 2 + b 2， 解得 a = 1，b = ，c = 2所以双曲线 C 的方程为 x 2= 1（2）设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，由 | OA | 2 + | OB | 2 | AB | 2，有 0 AOB 90 ，所以 0 cosAOB 0 ，所以 x1x2 + y1y2 0当 ABx轴时，A(2,3)，B(2,3)， = 5，不合题意当 AB 与 x轴不垂直时，F2(2,0)，设 l：y = k (x2)，由
27、 消去 y，整理得(3k 2) x 2 + 4k 2x4k 23 = 0则 = (4k 2) 24(3k 2) (4k 23) 0 k 2 0，且3k 20， x1 + x2 = ，x1x2 = 由 x1x2 + y1y2 0 ，得 x1x2 + k (x12) k (x22) 0 ，即 (1 + k 2) x1x22k 2(x1 + x2) + 4k 2 0，即(1 + k 2)+ 2k 2+ 4k 2 0 ，解得 k 2 0| PQ | = | x1x2 | = 4A(2k,b) 到直线 PQ 的距离为 d = ，SAPQ = | PQ | d = 4 | k 2 + b | = 4 (k
28、 2 + b) = 4 (k 22k + 2) = 4 (k1) 2 + 1 当 k = 1 时，SAPQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) 22（1）由e = = ，M(1,) 满足 + = 1，又 a 2 = b 2 + c 2 ，a 2 = 4，b 2 = 3椭圆 C 的标准方程为 + = 1（2）显然直线 PQ不与 x轴重合当直线 PQ与 x轴垂直时，| PQ | = 3，| F1F2 | = 2，SPF1Q = 3当直线 PQ不与 x 轴垂直时，设直线 PQ：y = k (x1)，k0，代入椭圆C的标准方程整理，得 (3 + 4k 2) y 2 + 6ky9k
29、2 = 0则 0，y1 + y2 = ，y1 y2 = 所以 SPF1Q = | F1F2 | y1y2 | = = = 12令 t = 3 + 4k 2， t 3，k 2 = ，SPF1Q = 12= 30 ， SPF1Q (0,3)综上得SPF1Q (0,3所以当直线 PQ与 x轴垂直时 SPF1Q 最大，且最大面积为3设PF1Q内切圆半径 r，则 SPF1Q = (| PF1 | + | PF2 | + | PQ |)r = 4r3，即 rmax = ，此时直线 PQ与 x轴垂直，PF1Q内切圆面积最大= ，l = 1所以PF1Q 内切圆面积最大时实数 l 的值为123（1）由已知可得=
30、，由已知，.所以.由由的递增区间为，递减区间为（2）对于任意，总存在，使得，.由（1）知，当时，取得最大值.对于，其对称轴为当时， ，从而.当时， ，从而.综上可知，实数的取值范围为24（1）当，时，作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数所以在区间上的最大值为Oayx（2）当时，因为，所以所以在上单调递增当时，因为，所以所以在上单调递增，在上单调递减综上所述，函数的递增区间是和，递减区间是（3）当时，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解即令，在时是增函数，故所以实数的取值范围是25（
31、1），依题意，有，即，解得（2）方程，即，所以记，则令，得.当变化时，、的变化情况如下表：当时，F(x)取极小值；当时，F(x)取极大值.作出直线和函数的大致图象，可知当或时，它们有两个不同的交点，因此方程恰有两个不同的实根所以实数的值为或（3），又，由，得，即又，即，所以的整数部分为126（1）设点为直线与曲线的切点，则有（*），（*）由（*）、（*）两式，解得，由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立设，当时，则是增函数，是增函数，所以实数的取值范围是（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得所以的最大值为（3）当时，由（1）知，时，即令，得化简得所以
