1、离心运动一、考点理解（一）实例分析1、火车转弯火车转弯处铁路外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力提供向心力：，故（R为轨道半径，L为内、外轨间距，h为外轨略高于内轨的高度）。（1）当火车行驶速度等于时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力。（2）当火车行驶速度大于时，需要有外轨对火车轮缘的侧压力来补充向心力。（3）当火车行驶速度小于时，多余的合力部分将使火车的轮缘与内轨间产生侧压力。2、汽车在平地上转弯汽车转弯时所需向心力来源于汽车与地面的摩擦力。如果汽车速度较大时，汽车就会发生侧向滑动，发生危险。汽车在平地上转弯时，它所受的重力及路面支持力都在竖直方向上，沿水平方向指向转弯中心O的向心力只
2、能来自轮胎与路面间的摩擦力，如图所示，如果弯道的圆周半径为R，汽车的转弯速度为，则这个摩擦力的大小应为。由于受轮胎和路面材料性质、表面状况等因素的限制，摩擦力的数值不可能很大，因而在一定的水平路面上，汽车的转弯速度要受到制约，如果转弯速度过大，摩擦力作为向心力显得不足时，汽车便会发生离心运动而滑向道路的外侧，这当然是很危险的；另外，即使摩擦力能够提供足够的向心力，由于转弯速度过大，还有可能造成汽车向外侧翻倒，为此，我们作如下定量分析，并就一些问题展开讨论。设汽车转弯时内外轮间的距离为d（dR），汽车重心距地面高度为h，且与两轮水平距离相等，则受力分析如图所示。水平指向圆心的合外力产生向心加速度
3、，有：竖直方向合外力平衡，有：对一般物体平衡问题，以重心为转轴，根据不翻倒的条件，有：联立、式，可得：由、式可知，汽车在平地上转弯时，内外两轮胎所受地面的支持力不同，且外轮所受到的支持力较大。令即汽车转弯时内轮离地，有：，即此时，汽车即有翻倒的危险，因此，为避免汽车翻倒，转弯速度应小于，使。又由于汽车与地面接触动摩擦因数为定值，为使其摩擦力足以提供向心力，应有：即综合、式可知，要保证汽车转弯安全，即不产生翻倒或发生离心运动而滑向道路的外侧，汽车转弯速度必须小于和两值中的较小值，否则就会造成伤害事故。对实际问题进行理论分析时，要抽象出具体的物理模型，本例中汽车在平地上转弯，可抽象为匀速圆周运动的
4、质点模型，但注意到汽车还有翻倒的可能，所以还必须抽象出一般物体的平衡问题，另一个类似的例子是我们观察到的摩托车比赛，在转弯时，运动员总是向内侧倾斜，从而较好地提供向心力（能不能无限地倾斜？最大倾斜角由哪些因素决定？）现实问题中，还有在装有茶叶水的杯中旋转搅动，使茶叶和水都转动起来，会发现茶叶最后慢慢地都集中在中央（应该说向心力不足，应做离心运动，为什么会集中在中央呢？）只要读者认真地观察，善于运用理论进行分析，并抽象出物理模型，就会有所认识，有所发现，有所创造。3、汽车过拱桥汽车过拱桥时的受力情况，如图所示，汽车在竖直方向受到两个力的作用：重力mg和桥对汽车的支持力。汽车对桥的压力大小（方向相
5、反）由此看出这个压力小于汽车的重量mg。4、圆锥面上的圆周运动小球绕圆锥面做匀速圆周运动，如图甲小球受三个力的作用：重力、支持力和拉力。利用正交分解可求出：图乙受2个力的作用：重力、支持力，这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力：（二）离心现象做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种现象就是离心现象。离心现象是圆周运动自身特有的一种运动现象。做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿圆周切线方向飞去的倾向，它所以没有飞去是因为有向心力持续地把物体拉到圆周上来，对于一个半径为R，线速度为（角速度为）的匀速圆周运动，需要的向心
6、力大小应为（或）。如果实际能提供给物体的向心力正好为，物体虽有离心倾向但不表现出实际的“离心现象”；假如=0，物体由于惯性将沿切线方向飞出；假如，便会出现介乎以上两者之间的情况物体沿着切线和圆周之间的某条曲线运动，如图所示，不管出现哪种情况，物体均由原定轨道上的圆周运动变为做离圆心越来越远的“离心运动”。二、方法讲解（一）竖直平面内的圆周运动的分析法物体受重力作用的影响，能否在竖直平面内做圆周运动，关键在于分析物体通过最高点时的临界条件，下面就几种模型进行讨论。1、如图甲和图乙所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（1）临界条件：
7、绳子或轨道对小球没有力的作用。注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛仑兹力的合力作为向心力，此时临界速度（2）能过最高点的条件：，当时，绳对球产生向下的拉力，轨道对球产生向下的压力。（3）不能过最高点的条件：（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）2、如图所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力。（1）临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度=0（2）图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况。当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，
8、即N=mg。当0v时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随球速度的增大而减小，其取值范围是：mgN0。当v=时，N=0当v时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。（3）图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况。当v=0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球重力，即N=mg。当0v时，管的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力N，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mgN0。当v=时，N=0。当v时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。3、小物体在竖直平面内的外轨道，做圆周运动。若使m沿轨道运动到最高点，如图（1）所示
9、。限制条件是：m到达最高点的速度若使m能从最高点沿轨道下滑，如（2）所示，m在最高点的速度的限制条件是若时，物体将从最高点起，脱离圆轨道做平抛运动。m在最高点从=0开始，沿光滑轨道下滑，如图（3）所示。m脱离轨道的临界条件是：轨道对m的支持力（二）向心力的来源向心力是按力的作用效果来命名的力，它的作用效果是改变线速度的方向；它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力。在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来提供，且与合外力相等。在非匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力在指向圆心方向的分力来提供，且与合外力的这个分力相等，而这个分力只改变物体的速度方向；合外力在切
10、线方向上的分力改变物体的速度大小。三考点应用例1：如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用50cm的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s和10m/s，求木桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对桶的压力。（g取10m/s2）分析：此题关键是分析木桶和水在最高点和最低点的受力情况，求出向心力，然后用牛顿第二定律求解。解答：在最高点时，以木桶和水为研究对象，木桶和水的质量为：0.1kg+0.4kg=0.5kg，水的质量为kg，则木桶和水受重力mg和绳的拉力作用，有：，即把数据代入上式，可得：=76N，则桶对绳的拉力大小为76N，方向向上。水在最
11、高点受重力和桶对水的支持力的作用，有：，即把数据代入上式，可得：=60.8N则水对桶的压力大小为60.8N，方向向上。在最低点时，木桶和水受绳向上的拉力和向下的重力作用，有，即把数据代往上式，可得：N则桶对绳的拉力大小为105N，方向向下。水在最低点受桶向上的支持力和向下的重力作用，有：，即把数据代入上式，可得：=84N，则水对桶的压力大小为84N，方向向下。点评：求木桶对绳的拉力，必须要以水和桶整体为研究对象，而求水对桶的压力，必须以水为研究对象。另外，求出拉力和压力后，还必须根据牛顿第三定律说明力的方向。研究对象不清，就胡乱套用公式求解，这是初学者极易出现的错误。例2：如图所示，匀速转动的
12、水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体、，它们到转轴距离分别为cm，cm，、与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？分析：盘转速较小时，A、B随盘做圆周运动的向心力较小，可完全由盘面的静摩擦力提供。由于可知，B需向心力较大，当B与盘面的静摩擦力达到最大值时（此时A受静摩擦力尚未达到最大值）。若继续增大转速，则B将做离心运动从而拉紧细线，使线上出现张力，转速越大，细线上张力越大，使A受静摩擦力也越大，当A受的静摩擦力达到最大值时，也将开始滑动，
13、B与A受到的静摩擦力达到最大值的状态时，线上开始出现拉力和即将外滑的临界状态，这是解题的关键。解答：（1）当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为，则解得(rad/s)（2）当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也达到最大，设此时盘转动角速度为，线上拉力为，则对A 对B 以上两式中， 解以上三式得(rad/s)（3）烧断细线，A与盘的静摩擦力减小，继续随盘做半径为cm的圆周运动，而B由于不足以提供必要的向心力而做离心运动。点评：此题是典型的平面上的圆周运动问题，由静摩擦力提供向心力，但要注意线上开始出现张力以及A开始滑动时向心力的大小及动力学方程。例3：如图所
14、示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ） A、球A的线速度必定大于球B的线速度；B、球A的角速度必定小于球B的角速度；C、球A的运动周期必定小于球B的运动周期D、球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力分析：对小球A、B受力分析，两球的向心力都来源于重力mg和支持力的合力，其合成如图所示，故两球的向心力比较线速度时，选用分析得r大，一定大，A答案正确比较角速度时，选用分析得r大，一定小，B答案正确比较周期时，选用分析得r大，T一定大，C答案不正确小球A和B受到的支持力都等于，D
15、答案不正确答案：A、B点评：“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理分析物体的受力；根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式.四、课后练习1、质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆上端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小是（ ）A、 B、C、 D、不能确定2、如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为，为使A不下落，圆筒转动的角速度至少为（ ）A、 B、；C、 D、3、（1999全国）如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运
16、动，图中，a、b分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力4、（2000上海）一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球，考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程中（）A、小球在水平方向的速度逐渐增大B、小球在竖直方向的速度逐渐增大C、到达最低位置时小球线速度最大D、到达最低位置时轻绳的拉力等于小球的重力5、（2000天津）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为。设拐弯路段
17、是半径为R的圆弧，要使车速为时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，应等于（ ）A、 B、C、 D、6、（2004北京、安徽春季）如图，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为与ab相切的位于竖直平面内的半圆，半径R=0.30m。质量m=0.20kg的小球A静止在轨道上，另一质量M=0.60kg、速度m/s的小球B与小球A正碰。已知相碰后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为处，重力加速度g=10m/s，求：（1）碰撞结束时，小球A和B的速度的大小；（2）试论证小球B是否能沿着半圆轨道到达c点。答案1、C 2、D 3、AB 4、AC 5、B6、（1）m/s，m/s；（2）不能（1）表示小球A碰后的速度，表示小球B碰后的速度，表示小球A在半圆最高点的速度，t表示小球A从离开半圆最高点到落地轨道上经过的时间，则有 由求得代入数值得m/s，m/s（2）假定B球刚能沿着半圆轨道上升到C点，则在C点时，轨道对它的作用力等于零，以表示它在C点的速度，表示它在b点相应的速度，由牛顿定律和机械守恒定律，有，解得代入数值得 m/s由m/s，可知，所以小球B不能达到半圆轨道的最高点。
