1、一元二次不等式的解法例1已知不等式ax2-3x+20的解集为x|xb.(1) 求a,b的值;(2) 解不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|xb,所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,由根与系数的关系,知b1,a0,且所以(2) 由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc0,即x2-(2+c)x+2c0,即(x-2)(x-c)2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc;当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc;当c2时,不等式ax2-
2、(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(2) 解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,从而层次清晰地求解.变式若kR,解关于x的不等式.【解答】不等式可化为0.当k1时,x(k,1)(2,+);当k=1时,x(2,+);当1k0,c0)的图象与x轴有两个不同的交点,且f(c)=0,当0x0.(1) 当a=,c=2时,求不等式f(x)0的解集;(2) 若以二次函数f
3、(x)的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,且ac=,求实数a的值;(3) 若f(0)=1,且f(x)m2-2m+1对所有x0,c恒成立,求正实数m的最小值.【分析】(1) 先行确定f(x)的表达式,然后求解即可;(2) 由f(c)=0可求出函数与坐标轴的交点,然后根据面积来求a的值;(3) 先求出f(x)在0,c上的最大值,然后通过解不等式求解.【解答】(1) 当a=,c=2时,f(x)=x2+bx+2,f(x)的图象与x轴有两个不同交点,因为f(2)=0,设另一个根为x1,则2x1=6,x1=3.所以f(x)0的解集为x|2x3.(2) 已知函数f(x)的图象与x轴有两个交点,
4、且f(c)=0,设另一个根为x2,则cx2=,于是x2=.又当0x0,则c,则三交点为(c,0),(0,c),这三交点为顶点的三角形的面积为S=c=8,且ac=,解得a=,c=4.所以a=.(3) 当0x0,所以f(x)在0,c上单调递减,且在x=0处取到最大值1.要使f(x)m2-2m+1对所有x0,c恒成立,必须有f(x)max=1m2-2m+1成立,所以m2-2m+11,即m2-2m0,解得m2或m0,又m0,所以正实数m的最小值为2.【点评】二次函数和二次不等式密不可分,从二次函数的图象进行分析,当图象处于x轴上方,则y0,如处于x轴下方,则y0,所以二次不等式解的问题则往往需要从函数
5、的图象进行考虑.有时涉及到函数恒成立问题往往需要从二次不等式进行考虑参数的范围.变式已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,cR)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内.(1) 求实数b的取值范围;(2) 若函数F(x)=logbf(x)在区间(-1-c,1-c)上具有单调性,求实数c的取值范围.【解答】(1) 因为f(1)=0,所以1+2b+c=0,f(x)+x+b=0,即x2+(2b+1)x-(1+b)=0.设g(x)=x2+(2b+1)x-(1+b),则即解得b,所以实数b的取值范围是.(2) 因为函数F(x)=logb
6、f(x)在区间(-1-c,1-c)上具有单调性,且b,所以函数f(x)=x2-(1+c)x+c在区间(-1-c,1-c)上具有单调性且恒大于0,所以或得-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.【分析】(1) 方程f(x)=|m|在-4,+)上有两个不同的解,等价于两个根都在-4,+)上,从而可建立不等式求解;(2) 由题意可得f(x1)ming(x2)min,从而可分类求解.【解答】(1) 方程f(x)=|m|,即|x-m|=|m|,此方程在xR时的解为x=0和x=2m.要使方程|x-m|=|m|在x-4,+)上有两个不同的解,所以2m-4且2m0,解得m-2且m0,所以实数m的取值范围是m|
7、m-2且m0.(2) 原命题等价于对于任意x1(-,4),任意x23,+),f(x1)ming(x2)min恒成立.对于任意x1(-,4,f(x1)min=对于任意x23,+),g(x2)min=当mm2-10m+9,所以1mm2-7m,所以3m4;当m4时,m-4m2-7m,所以4m4+2.综上所述,实数m的取值范围是m|1m2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明);(3) 若存在a-2,4,使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.【解答】(1) 当a=2,x0,3时,f(x)=x|x-2|+2x=作函数图象(图象略),可知函数f(x)在区间0,3上是
8、增函数,所以函数f(x)在区间0,3上的最大值为f(3)=9.(2) f(x)=当xa时,f(x)=-,因为a2,所以a,所以f(x)在a,+)上单调递增.当x2,所以a,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.综上,函数f(x)的单调增区间是和a,+),单调减区间是.(3) 当-2a2时,0,0,所以f(x)在(-,+)上是增函数,关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不相等的实数解.当2a4时,由(1)知f(x)在和a,+)上分别是增函数,在上是减函数,当且仅当2atf(a)时,方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解,即1t=.令g(a)=a+,g(a)在a(2,4时是增函数,故g(a)max=5.所以实数t的取值范围是.
