1、课时跟踪检测(二十一)奇偶性的概念A级基础巩固1函数f(x)x的图像()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称解析：选Cf(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，f(x)是奇函数，图像关于原点对称2若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：选A因为f(x)ax2bxc是偶函数，所以由f(x)f(x)，得b0.所以g(x)ax3cx.所以g(x)a(x)3c(x)g(x)，所以g(x)为奇函数3(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是()A
2、f(x)(x1) 是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)x2是非奇非偶函数Df(x)是奇函数解析：选BD由0，即(x1)(x1)0，x1，解得1x1，所以函数的定义域是1，1)，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A错误；设x0，所以f(x)x2x，则f(x)f(x)，同理当x0时，f(x)f(x)，所以函数是奇函数，故B正确；由x230，解得x或x，所以函数的定义域是(， ，)关于原点对称，又f(x)(x)2x2f(x)，所以函数是偶函数，故C错误；由即所以函数的定义域1，0)(0，1，f(x)，又f(x)f(x)，所以函数是奇函数，故选B、D.4已知奇函数yf(x)(x0)，当x(0，
3、)时，f(x)x1，则函数f(x1)的图像为()解析：选D奇函数yf(x)(x0)，当x(0，)时，f(x)x1.设x0，f(x)x1，f(x)x1，f(x)x1.综上可得，f(x)故f(x1)其图像如图所示即D选项满足条件，故选D.5(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选BCf(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(
4、x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，故选项A错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，故D错误故选B、C.6设奇函数f(x)的定义域为6，6，当x0，6时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为_解析：由f(x)在0，6上的图像知，满足f(x)0的不等式的解集为(0，3)又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在6，0)上，不等式f(x)0的解集为6，3)综上可知，不等式f(x)0的解集为6，3)(0，3)答案：6，3)(0，3)7若定义在(1，1)上的奇函数f(x)，则常数m，n的值分别为_
5、解析：由已知得f(0)0，故m0.由f(x)是奇函数，知f(x)f(x)，即，x2nx1x2nx1，n0.答案：0，08已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)_解析：设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13.又g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)813821.答案：219已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图像；(2)根据图像写出函数yf(x)的增区间；(3)根据图像写出使f
6、(x)0的x的取值集合解：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(1，0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2，0)(0，2)10设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数解：(1)当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x24x)x24x(x0)所以f(x)(2)证明：设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14)因为0x10，x2
7、x140，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x1)0，则实数m的取值范围是()A. B(，0)C. D.解析：选Cf(x)为偶函数，且在0，3)上是减函数，f(x)在(3，0)上是增函数f(m1)f(3m1)0可化为f(m1)f(3m1)，f(x)为偶函数，f(m1)f(3m1)即为f(|m1|)f(|3m1|)又f(x)在0，3)上为减函数，解得m，故选C.12我们知道，函数yf(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数yf(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数yf(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数yf(xa)b为奇函数则函数f(x)x33x2
8、图像的对称中心为()A(1，2) B(1，2)C(1，2) D(1，2)解析：选A设(a，b)为f(x)x33x2图像的对称中心，则有yf(xa)b(xa)33(xa)2b为奇函数，设g(x)(xa)33(xa)2b，则g(x)为奇函数；g(x)x33(a1)x23(a22a)xa33a2b，又g(x)g(x)0，可得3(a1)x2a33a2b0，所以解得所以函数f(x)x33x2图像的对称中心的坐标为(1，2)故选A.13给出定义：若mxm(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即xm.在此基础上给出下列关于函数f(x)xx的四个命题：函数yf(x)的定义域是R，值域是；函数y
9、f(x)是偶函数；函数yf(x)是奇函数；函数yf(x)在上是增函数其中正确的命题是_(填序号)解析：化简函数解析式可得f(x)xx则函数f(x)的图像，如图：由图像可知正确答案：14已知函数f(x)是R上的偶函数(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(，0上的单调性；(3)求函数f(x)在3，2上的最大值与最小值解：(1)若函数f(x)是R上的偶函数，则f(x)f(x)，即，解得m0.(2)函数f(x)在(，0上单调递增理由如下：由(1)知f(x)，设任意的x1，x2(，0，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，所以x2x10，(1x)(1x)0，所以f(x1)f(x2)
10、，所以函数f(x)在(，0上单调递增(3)由(2)知函数f(x)在(，0上是增函数又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在(0，)上为减函数，所以f(x)在3，0上为增函数，在0，2上为减函数，又f(3)，f(0)1，f(2)，所以f(x)maxf(0)1，f(x)minf(3).C级拓展探究15已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h(x)mx2(mn)x2n，那么称h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的函数设f(x)x2x，g(x)x2，若h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的一个偶函数，且h(1)3，求函数h(x)解：h(x)mf(x)ng(x)m(x2x)n(x2)mx2(mn)x2n；h(x)为偶函数，mn0，又h(1)3，mmn2n3，联立解得m3，n3，h(x)3x26.
