1、2016年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=1，2，3，4，N=x|x+y=3，yM，则MN=（）A1B1，2C2，3D3，42已知复数z（1i）=i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3曲线y=在点（1，a）处的切线经过点P（2，3），则a等于（）A1B2C2D14从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（）ABCD5已知命题p：若xy，则|x|y|；命题q：若x+y=0，则x=y有命题pq；pq；p（q）；
2、（p）q其中真命题是（）ABCD6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）An5Bn6Cn6Dn97将函数y=3sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应函数为g（x），则g（=）（）A0B3C3D8（x+）n（aN+，nN+，且na）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为（）A120x3B160x2C120D1609已知、为锐角，且sin（）=，tan=则等于（）A15B30C45D6010已知a0，x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值为2，则a=（）ABCD11五棱锥PABCD的体积为5，三视图如图所示，则侧棱中
3、最长的一条的长度是（）A6B3C3D412已知双曲线C：=1（a0，b0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A（，+）B（，+）C（2，+）D（，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13如图在矩形ABCD中，E为BC的中点，若=+，则+=14甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对15设抛物线C：y2=2px的焦点F是圆M：x2+y24x21=0
4、的圆心，则圆M截C的准线所得弦长为16在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2=1，c=1，则ab的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17数列anbn为等比数列，公比q0，首项为1，数列bn的前n项和Sn，若Sn=（nN+），a3=（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Tn18某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立（1）求在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个
5、的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）19在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=2AB=2（1）求证：平面PAC平面AEF；（2）求二面角CAEF的正弦值20已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kODkAB=，AOB的面积为2（）求椭圆C的方程；（）过F1的直线1与椭圆C相交于M，N两点，若|MN|=，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程21已知，其中a0（1）
6、若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求a的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1：几何证明选讲22如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AF交BD的延长线于点F，过点D作DEAF于点E（1）证明：DA平分BDE；（2）若ED=1，BD=5，求切线AF的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
7、系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|（1）解不等式f（x）f（x1）1；（2）若a0，求证：f（ax）af（x）f（a）2016年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=1，2，3，4，N=x|x+y=3，yM，则MN=（）A1B1，2C2，3D3，4【考点】交集及其运算【分析】由M中元素，根据x+y=3确定出x
8、的值，进而确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：把y=1，2，3，4代入x+y=3中得：x=2，1，0，1，即N=2，1，0，1，M=1，2，3，4，MN=1，2，故选：B2已知复数z（1i）=i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解：复数z（1i）=i，则z=，复数对应点为（），在第二象限故选：B3曲线y=在点（1，a）处的切线经过点P（2，3），则a等于（）A1B2C2D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式
9、，计算即可得到所求值【解答】解：y=的导数为y=，则曲线在点（1，a）处的切线斜率为2a，由切线经过点P，可得2a=，解得a=1故选A4从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】个位数与十位数之和为偶数的两位数中，其个位数与十位数都为奇数，或都为偶数，由此利用列举法能求出个位数为2或3的概率【解答】解：个位数与十位数之和为偶数的两位数中，其个位数与十位数都为奇数，或都为偶数，共有=45，记“个位数与十位数之和为偶数的两位数中，其个位数为2或3”为事件A，则A包含的结果：22，42，62，82，13，3
10、3，53，73，93，共9个，由古典概率计算公式得P（A）=故选：B5已知命题p：若xy，则|x|y|；命题q：若x+y=0，则x=y有命题pq；pq；p（q）；（p）q其中真命题是（）ABCD【考点】复合命题的真假【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：若xy，则|x|y|，是假命题，例如取x=2，y=3；命题q：若x+y=0，则x=y，是真命题有命题pq是假命题；pq是真命题；p（q）是假命题；（p）q是真命题其中真命题是故选：B6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）An5Bn6Cn6Dn9【考
11、点】循环结构【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值，由此得出判断框中填写的内容是什么【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2；满足条件，S=，n=4；满足条件，S=+=，n=6；满足条件，S=+=，n=8；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为；故判断框中填写的内容可以是n6故选：C7将函数y=3sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应函数为g（x），则g（=）（）A0B3C3D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换可求g（x）的解析
12、式，利用特殊角的三角函数值即可求值【解答】解：g（x）=3sin2（x+）=3sin（2x+）=3sin（2x+），g（）=3sin=0故选：A8（x+）n（aN+，nN+，且na）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为（）A120x3B160x2C120D160【考点】二项式系数的性质【分析】根据展开式中，首末两项的系数之和得出1+an=65，结合题意求出n、a的值，再求展开式的中间项【解答】解：根据题意，得二项式展开式中，首末两项的系数之和为：1+an=65，即an=64；又aN+，nN+，且na，n=6，a=2，展开式的中间项为T3+1=x3=160故选：D9已知、为锐
13、角，且sin（）=，tan=则等于（）A15B30C45D60【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知可求范围，利用同角三角函数关系式可求cos（）的值，由tan=可求cos，sin的值，根据两角和的正弦函数公式即可求得sin=sin（+）的值，结合角的范围即可得解【解答】解：、为锐角，且sin（）=，cos（）=，tan=解得：cos=，sin=，sin=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin=+=45故选：C10已知a0，x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值为2，则a=（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【
14、解答】解：先作出不等式对应的区域，若z=x+2y的最大值为2，则x+2y=2，直线y=a（x4）过定点（4，0），则直线x+2y=2与xy=3相交于A，由得，即A（，），同时A也在直线y=a（x4）上，即a（4）=，即a=，得a=，故选：A11五棱锥PABCD的体积为5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（）A6B3C3D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是底面为一个正方形和一个等腰直角三角形组成，利用体积求出高，即可求出最长的侧棱长度【解答】解：由题意可知几何体是底面为一个正方形和一个等腰直角三角形组成，其面积为S=2=5，所以五棱锥PABCD的体积V=5，所以
15、h=3，所以侧棱中最长的一条的长度是=3故选：C12已知双曲线C：=1（a0，b0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A（，+）B（，+）C（2，+）D（，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程和直线l的方程，代入双曲线的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由题意可得x1x20，整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围【解答】解：由双曲线方程可得在第一、第三象限渐近线为y=x，右焦点F（c，0），可得直线l的方程为y=（xc），代入双曲线C：=1，消去y得（b4a4）x2+
16、2a4cxa2（a2c2+b4）=0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=，x1x2=，由题意可得x1x20，b4a4即ba，由c=a，e=，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13如图在矩形ABCD中，E为BC的中点，若=+，则+=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量加减运算的几何意义用表示出，解出，【解答】解： =1故答案为14甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对【考点】进行简单的合情推理【分
17、析】运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论【解答】解：若甲做对A，B，乙做对A，B，丙做对A，B，则C无人做对，所以错误；若甲做对A，B，乙做对A，C，丙做对B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足的说法故答案为：15设抛物线C：y2=2px的焦点F是圆M：x2+y24x21=0的圆心，则圆M截C的准线所得弦长为6【考点】抛物线的简单性质【分析】求得圆M的圆心和半径，可得p=4，即可得到准线方程，代入圆M的方程，可得交点坐标，进而得到所求弦长【解答】解：圆
18、M：x2+y24x21=0的圆心M（2，0），半径为r=5，即有F（2，0），即=2，解得p=4，则抛物线C：y2=8x的准线方程为x=2，令x=2，代入圆M，可得4+y2+821=0，解得y=3即有弦长为6故答案为：616在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2=1，c=1，则ab的取值范围为【考点】正弦定理【分析】由a2ab+b2=1，c=1，可得a2+b2c2=ab，利用余弦定理可得：.由正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，于是ab=2sinA2sinB=2由于，又，可得，可得2，即可得出【解答】解：由a2ab+b2=1，c=1，可得a2+b2c2
19、=ab，由余弦定理可得：2abcosC=ab，C（0，），由正弦定理可得： =2，a=2sinA，b=2sinB，ab=2sinA2sinB=2sinA2=2sinA2=cosA=2，又，可得，2故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17数列anbn为等比数列，公比q0，首项为1，数列bn的前n项和Sn，若Sn=（nN+），a3=（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用Sn=，当n=1时，b1=当n2时，bn=SnSn1即可得出；（2）由a1b1=1，a3b3=4，可得q，可得an
20、=，再利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）Sn=，当n=1时，b1=当n2时，bn=SnSn1=，当n=1时上式也成立，bn=（2）a1b1=1，a3b3=4，4=1q2，q0，解得q=2anbn=2n1=，数列an的前n项和Tn=+=+2n1=18某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立（1）求在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E
21、（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）设事件A1：“日销售量不低于150个”，事件A2：“日销售量低于100个”，事件B：“在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果（）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）设事件A1：“日销售量不低于150个”，事件A2：“日销售量低于100个”，事件B：“在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个”，则P（A1）=（0.004+0.002）50=0.3，P（A2）=（0
22、.003+0.005）50=0.4，P（B）=0.30.30.43=0.108（）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=0.343，P（X=1）=0.441，P（X=2）=0.189，P（X=3）=0.027，X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027XB（3，0.3），EX=30.3=0.919在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=2AB=2（1）求证：平面PAC平面AEF；（2）求二面角CAEF的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；用空
23、间向量求平面间的夹角【分析】（1）先证 CD平面PAC，由三角形中位线的性质得EFCD，得到EF平面PAC，从而证得平面PAC平面AEF（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的正弦值【解答】证明：（1）PA平面ABCD，PACD，又ACCD，PAAC=A，CD平面PAC，E、F分别为PD、PC中点，EFCD，EF平面PAC，EF平面AEF，平面PAC平面AEF（2）PA平面ABCD，ACD=90，建立以C为坐标原点，CD，CA分别为x，y，过C作平行于PA的直线为z轴的空间直角坐标系如图：PA=2AB=2，ABC=90，BAC=60C（0，0，0），D
24、（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2），E（，1，1），F（0，1，1），则=（，1，1），=（0，2，0），=（0，1，1），设平面CAE的法向量=（x，y，z），则，则，则，令x=1，则z=，即=（1，0，），设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，则，令y=1，则z=1，x=0，即=（0，1，1），则=，则sin，=，即二面角CAEF的正弦值是20已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kODkAB=，AOB的面积为2（）求椭圆C的方程；（）过F1的直线1与椭圆C相交于M，N两点，若|MN|
25、=，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）利用kODkAB=，AOB的面积为2建立方程组，求解方程组即可得出a，b的值，则椭圆方程可求；（）由（）求出椭圆左右焦点的坐标，分析可知直线l的斜率存在，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用弦长公式求得直线的斜率k，得到直线方程，再由点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的方程可求【解答】解：（）kODkAB=，AOB的面积为2，解得：a=2椭圆C的方程为（）由（）知，c2=a2b2=4，c=2，则F1（2，0）当直线l垂直x轴时，直线方程为x=2，代入椭圆方程可得y=，此时|MN|=，不合题意；当直线l的斜率存在时，
26、设直线方程为y=kx+2k联立，消去y得：（1+2k2）x2+8k2x+8k28=0设M（x1，y1），N（x2，y2），在由|MN|=，解得：k2=2，不妨去k=，则直线l的方程为由F2（2，0）到直线的距离d=以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程为21已知，其中a0（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）对f（x）求导函数f（x），由f（3）=0，求得a的值；（2）求f（x）导函数f（x），讨论a
27、的值对应f（x）与f（x）的变化情况，从而确定f（x）的单调增区间和单调减区间；（3）根据（2）中f（x）的单调性求出f（x）在（0，+）的最大值是否为f（0）=0，从而确定a的取值范围【解答】解：（1），其中a0，f（x）=ax+1=，其中x（1，+）；f（3）=0，即9a3（a1）=0，解得a=，a的值是a=；（2）令f（x）=0，得=0，其中x（1，+）；即ax2+（a1）x=0，解得x1=0，x2=1；当0a1时，x1x2，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x（1，0）0f（x）0+0f（x）减f（0）增减f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（1，0），；当a=1时，f（x
28、）的单调减区间是（1，+）；当a1时，1x20，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x0（0，+）f（x）0+0f（x）减增f（0）减f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是，（0，+）；综上，当0a1时，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（1，0），；当a=1时，f（x）的单调减区间是（1，+）；当a1，f（x）的单调增区间是f（x）的单调减区间是，（0，+）；（3）由（2）知，当0a1时，f（x）在（0，+）的最大值是，但，所以0a1不合题意；当a1时，f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）f（0），f（x）在0，+）上的最大值为f（0）=0，符合题意；f（x）在0，+
29、）上的最大值为0时，a的取值范围是a|a1请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1：几何证明选讲22如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AF交BD的延长线于点F，过点D作DEAF于点E（1）证明：DA平分BDE；（2）若ED=1，BD=5，求切线AF的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）推导出DAE=ABD，BAD=90，ABD+ADB=90，ADE+DAE=90，由此能证明DA平分BDE（2）由BADAED，得AD=，从而AE=2，AB=2，再由
30、BAFADF，能求出切线AF的长【解答】证明：（1）AE是O的切线，DAE=ABD，BD是O的直径，BAD=90，ABD+ADB=90，又ADE+DAE=90，ADB=ADE，DA平分BDE解：（2）由（1）知BADAED，AD2=DEBD=15=5，AD=，AE=2，AB=2，由题意BAFADF，DF：AF=AF：BF=AD：AB=1：2，设AF=x，则，解得x=，切线AF的长为选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O
31、，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系【分析】（I）圆C的参数方程（为参数）消去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II）由直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=可得普通方程：直线l，射线OM分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出【解答】解：（I）圆C的参数方程（为参数）消去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简得：=2cos，即为此圆的极坐标方程（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=可得普通方程：直线l，
32、射线OM联立，解得，即Q联立，解得或P|PQ|=2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|（1）解不等式f（x）f（x1）1；（2）若a0，求证：f（ax）af（x）f（a）【考点】不等式的证明【分析】（1）运用去绝对值的方法，分段讨论，求得不等式的解，求并集即可得到；（2）求出不等式的左边，运用绝对值不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）f（x）f（x1）1，即为|2x+1|2x1|1，由|2x+1|2x1|=，可得当x时，21，解得x；当x时，4x1，解得x；当x时，21不成立综上可得不等式的解集为x|x（2）证明：a0，f（ax）af（x）=|2ax+1|a|2x+1|=|2ax+1|2ax+a|（2ax+1）（2ax+a）|=|1a|=f（a）故原不等式成立2016年8月8日
