1、广东省四校2020-2021学年高一数学下学期期中联考试题卷面总分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1已知向量，且，则ABCD 2设复数满足，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，则ABCD 4如图，在中，点是的中点，设，则AB CD 5已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD 6已知，则的面积的最大值为ABCD7已知点，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为ABCD 8已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小
2、值为AB CD 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9以下是真命题的是A已知，为非零向量，若 ，则与的夹角为锐角B已知，为两两非共线向量，若，则C在三角形中，若，则三角形是等腰三角形D若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心 10已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有A与和都平行的有且只有一个B过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交C与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个D过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
3、11已知圆锥的母线长为，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则A三棱锥体积的最大值为B直线与所成角的范围为C三角形面积的最大值为 D三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为12 若，是两个非零向量，且，则以下可能是与 的夹角的是ABCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角，所对的边分别为，已知，则 14已知，是单位向量，且，则 15已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为的正三角形（如右图所示），则 16在三棱锥中，已知平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、17（10分）已知，（1）若，三点共线，求与满足的关系式；（2）若，求点的坐标18（12分）如图，已知点，在同一平面内， 且，（1）求的长；（2）求的面积19（12分）在锐角中，角，所对的边分别为，已知 （1）求的取值范围；（2）若，求的取值范围 （可能会用到的公式：， ）20（12分）如图，在四棱锥中，为锐角，平面平面（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值21（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，的平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比22（12分）如图直角坐标系内，在半径为的上半圆上， 是以为
5、直角的等腰直角三角形，设，且. （1）求（用表示）；（2）求点的坐标（用表示）；（3）求的面积的最大值参考答案一、选择题12345678CABBDCBA9BD 10CD 11ABD 12ABC13 14 15 16 17解：（1），（2分）因为，三点共线，所以向量与也共线，所以，所以与满足的关系式为 （4分）（2）由，可得，或，（6分）当时，有，；当时，有，；所以点的坐标为或（10分）18解：(1)连，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以（6分）（2），所以的面积为（12分）19解：（1）由题意及余弦定理 可得，（2 分）由正弦定理，可得，（6分）（2）由（1）可得，（9分），（11分）所以
6、（12分）20解：（1）证明:在平面内过作于，（2分）因为平面平面，又平面平面，所以平面， ，所以，（4 分）过分别作于，易得，即，（5分），且平面，所以平面，所以，因为，平面（7 分）（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，由（1）可得，为二面角的平面角，（9分）在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，可得，因为，所以，所以，（11分）所以二面角的余弦值为（12分）21解:(1)证明：，所以平面，（2 分）因为平面与平面的交线为，且，所以，（4 分）因为平面，所以平面（6 分）（2）设与交于，易得为的中点，连，设四棱锥的体积为，所以，（8 分）又，（10 分）所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为，所以上面部分的体积为，所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为（12分）22（1）， ，（2 分）（2）（法一）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得， 所以，点的坐标为（10分）（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，所以对应的复数为，所以，所以的坐标为（3），所以，当时，的面积取最大值，且为（12分）
