1、课时跟踪检测(十九)点到直线的距离公式两条平行直线间的距离A级基础巩固1点P(1，1)到直线l：3y2的距离是()A3BC1 D解析：选B点P(1，1)到直线l的距离d，选B.2已知点M(1，4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m()A0 BC3 D0或解析：选D点M到直线l的距离d，所以3，解得m0或m，选D.3已知点A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，则ABC的面积等于()A3 B4C5 D6解析：选C设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB| 2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为，即xy40.点C到直线xy40的距离为，因此，SABC25.
2、4已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1，2)或(2，1) B(3，4)C(2，1) D(1，2)解析：选A设点P的坐标为(a，53a)，由题意，得，解得a1或2，点P的坐标为(1，2)或(2，1)5已知两平行直线l1，l2分别过点P(1，3)，Q(2，1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A(0，) B0，5C(0，5 D0，解析：选C当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d5，0d5.6已知A(2，4)，B(1，5)两点到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题
3、意得，解得a3或3.答案：3或37已知直线3xy30和6xmy10互相平行，则m_，它们之间的距离是_解析：直线3xy30和6xmy10互相平行，m2.直线6x2y10可以化为3xy0，由两条平行直线间的距离公式，得d.答案：28已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10间的距离相等，则直线l的方程是_解析：由题意可设直线l的方程为2xyc0，于是有，即|c3|c1|.c1，直线l的方程为2xy10.答案：2xy109求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(3，1)等距离的直线l的方程解：法一：点A(1，1)与B(3，1)到y轴的距离不相等，直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上
4、的截距为2，则直线l的方程为ykx2，即kxy20.由点A(1，1)与B(3，1)到直线l的距离相等，得，解得k0或k1.直线l的方程是y2或xy20.法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等AB的中点是(1，1)，又直线l过点P(0，2)，直线l的方程是xy20；当直线lAB时，直线l与点A，B的距离相等直线AB的斜率为0，直线l的斜率为0，直线l过点P(0，2)，直线l的方程为y2.综上所述，满足条件的直线l的方程是xy20或y2.10已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2xy80和l2：x3y100交于B，A两点，线段AB恰被点P平分(1)求直线l的方程；(
5、2)设点D(0，m)，且ADl1，求ABD的面积解：(1)点B在直线l1上，可设B(a，82a)又P(0，1)是AB的中点，A(a，2a6)点A在直线l2上，a3(2a6)100，解得a4，即B(4，0)故直线l的方程是x4y40.(2)由(1)知A(4，2)又ADl1，kAD2，m6.点A到直线l1的距离d，|AD| 4，SABD|AD|d428.B级综合运用11已知定点P(2，0)和直线l：(13)x(12)y25(R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A2 B.C. D2解析：选B将(13)x(12)y25变形，得(xy2)(3x2y5)0，所以l是经过两直线xy20和3x2y50的交
6、点的直线系设两直线的交点为Q，由得交点Q(1，1)，所以直线l恒过定点Q(1，1)，于是点P到直线l的距离d|PQ|，即点P到直线l的距离的最大值为.12在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有_条解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，可设直线为ykxb，即kxyb0.d11，d22，两式联立，解得b13，b2，k10，k2.故所求直线共有两条答案：213已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点若点A(5，0)到l的距离为3，则直线l的方程为_解析：法一：联立交点P(2，1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，3，解得k，
7、l的方程为y1(x2)，即4x3y50.而直线斜率不存在时直线x2也符合题意，故所求l的方程为4x3y50或x2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，即22520，解得2或，l的方程为4x3y50或x2.答案：4x3y50或x214.如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程解：设l2的方程为xyb0(b1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h，由梯形的面积公式得4，b2
8、9，b3.又b1，b3.从而得直线l2的方程是xy30.C级拓展探究15点到直线的距离公式的推导：已知直线l：AxByC0(A，B不同时为0)和直线l外一点P0(x0，y0)，过点P0且与直线l垂直的直线l的方程为B(xx0)A(yy0)0，直线l与l的交点为P1(x1，y1)，则点P0到直线l的距离为d|P0P1|.(*)因为点P1是直线l与l的交点，所以Ax1By1C0，B(x1x0)A(y1y0)0.策略1：由联立，解出x1，y1，然后代入(*)，求出d.策略2：由于d，而式等价于A(x1x0)B(y1y0)Ax0By0C.将x1x0，y1y0看作整体，由解出x1x0，y1y0，然后代入
9、(*)，求出d.策略3：注意到和d的特点，将两边平方与的两边平方相加，得(A2B2)(x1x0)2(y1y0)2(Ax0By0C)2，故d.推导点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式有很多种方法，你是否还能用其他方法推导出此公式解：如图，设A0，B0，则直线l与x轴和y轴都相交，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于点R和S，则直线P0R的方程为yy0，R的坐标为；直线P0S的方程为xx0，S的坐标为，于是有|P0R|，|P0S|，|RS|Ax0By0C|.设|P0Q|d，由三角形面积公式可得d|RS|P0R|P0S|，于是得d.因此，点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.可以验证，当A0，或B0时，上述公式也成立
