1、长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数 学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1已知复数，则其共轭复数（ ）ABCD2已知向量，则A4B5C6D73“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BEAC.若=+，则+的值为（ ） A B C D14南宋著名数学家秦九韶在其著作数书九章中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下
3、这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，所对的边分别为，且，则用“三斜求积术”求得的面积为（ ）AB1CD5三棱柱中，点在上，且，若平面，则（ ）ABCD6已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（ ）ABCD7如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN（ ） A3 B4 C5 D68已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则9为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体
4、，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ） A B C D102020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A346 B373 C446 D47311（多选）的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）A B若，则C若，则是等腰三角形 D若，
5、则是等腰三角形12（多选）如图，在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A四点共面 B平面平面C直线与所成角的为 D平面第卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13已知复数（为虚数单位）且，则_14已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_.15在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为_16在中，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_；若（m为常数且），则BD的长度是_.三、解答题17已知向量（1）求向量与的夹角； （
6、2）若，且，求m的值18如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABACAA1.（1）求证：AB1平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.19如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点，求证：（1） 平面； （2） 平面平面20已知的外接圆的半径为，内角，的对边分别为，又向量，且.（1）求角； （2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.21如图，在直角梯形中，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到 （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值22某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为
7、300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边（1）若，求四边形的面积；（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？参考答案1B2B3B4D5A6B7C8A9D10B11BC12BC13141516. . 【详解】解：由勾股定理可知，当D为AB中点时，所以;C、D、P三点共线，可设（），即，若且，则A、B、D三点共线，即，设，则，根据余弦定理可得，解得或（舍去），的长度为.故答案为: ;.17（1） （2）
8、【详解】解：（1）由，则，由题得，设向量与的夹角为，则，由，所以. 即向量与的夹角为.（2）由，所以，又，所以，又，所以，解得.18（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面AA1B1B.又AB1平面AA1B1B，A1C1AB1.又BA1A1C1A1，AB1平面A1BC1.（2）连接A1D.设ABACAA11.AA1平面A1B1C1，A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，A1DB1C1.在R
9、tA1DA中，AD.sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.19（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示：因为，分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以平面.又因为平面，所以.又因为，所以.所以平面.又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.20(1) . (2) ，周长为.【详解】（1），且，由正弦定理得：，化简得：.由余弦定理：，.（2），（当且仅当时取“”），所以，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.21（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）证明：在直角梯形中，且直角梯形是通过直角梯形以直线为轴旋转而得，所以，又，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）由（1）可知，因为二面角为，所以，过点作平面的垂线，如图，建立空间直角坐标系设，则所以，设平面的法向量为，则即令，则，于是所以直线与平面所成角的正弦值为22（1）平方米；（2）【详解】（1）当时，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四边形OABC的面积为平方米；（2）设，则，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有；化简得；因为，所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大
