1、课时跟踪检测(十一)用空间向量研究距离问题A级基础巩固1若O为坐标原点，(1，1，2)，(3，2，8)，(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B2C. D.解析：选D()(4，3，6)，(0，1，0)，|.2已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P到正方体内部且满足，则点P到直线AB的距离为()A. B.C. D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1).又(1，0，0)，在上的投影向量的长度为，点P到AB的距离为.3如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG
2、的距离为()A. B.C. D1解析：选B以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，B(0，4，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(2，4，2)设平面EFG的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则y1，z3，则m(1，1，3)，点B到平面EFG的距离d.4已知A(2，2，0)，B(1，4，2)，C(0，0，1)，则原点O到平面ABC的距离为_解析：由题意得(1，2，2)，(2，2，1)，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则nx2y2z0，n2x2yz0，解得x2y，z2y.令y
3、1，得xz2.平面ABC的一个法向量为n(2，1，2)又(2，2，0)，原点O到平面ABC的距离为d.答案：5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD.若已知AB3，AD4，PA1，则点P到直线BD的距离为_解析：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，(3，0，1)，(3，4，0)，点P到直线BD的距离d，点P到直线BD的距离为.答案：6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1，在ABC中，ACB90，ACBC1，则点B1到平面A1BC的距离为_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A
4、(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，(1，1，)，(1，0，)，(1，1，0)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1得x，y0，n(，0，1)点B1到平面A1BC的距离d.答案：7.如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为_解析：以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则E，F，G，D1(0，0，1)，A1(1，0，1
5、)，(1，0，0)，(1，0，0)，.又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z6，则y1，n(0，1，6)，n的单位向量n0.又，点D1到平面EFGH的距离d|n0|，A1D1到平面EFGH的距离为.答案：8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，
6、4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)(2，2，0)，(2，2，0)，(2，0，4)，(2，0，4)，EFMN，BFAM，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得取z1，则x2，y2，得n(2，2，1)平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离(0，4，0)，平面AMN与平面AMN间的距离d.9.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解：(1)建立以D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴
7、正方向的空间直角坐标系，如图所示则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，所以，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则即取x2，则y2，z3，所以n(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离d，因此点D到平面PEF的距离为.(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC.又因为AC平面PEF，EF平面PEF，所以AC平面PEF.因为，所以点A到平面PEF的距离d.所以直线AC到平面PEF的距离为.B级综合运用10已知向量(1，0，0)，(0，2，0)，(4，3，3)，对任意的实数a，b，当向量n(ab)的长度最小时，求a，b的值解：如图ab，n(ab)，要使向量n
8、(ab)的长度最小，也就是线段MY的长度最短由点到平面距离的定义，当且仅当n平面Oxy时，线段MY的长度最短这时，由n(ab)(4a，32b，3)，(1，0，0)，(0，2，0)，得即解得所以当n(ab)的长度最小时，a4，b.11设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，M分别为B1C1，C1D1，A1B1的中点，求异面直线EF与AM的距离解：设N为A1D1的中点，连接MN，AN，BE，FD，BD，易证平面BEFD平面AMN，于是问题转化成A点到平面BEFD的距离如图，以C为坐标原点，CB，CD，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设P为平面BEFD内任一点，由P
9、，B，D，E四点共面，则有：abca(0，1，0)b(1，0，0)c，且abc1，|2(ac)2c22c2，|，异面直线EF与AM的距离为.C级拓展探究12.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：取AD的中点O，在PAD中，PAPD，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则(1，0，1)，(1，1，0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y，0)(1y1)，则(1，y，0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1，1，1)点Q到平面PCD的距离d，y或y(舍去)此时，则|，|.存在点Q满足题意，此时.
