1、专题(八)切线的辅助线问题1(2020沈阳)如图，在ABC 中，ACB90，点 O 为 BC 边上一点，以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆与边 AB 相交于点 D，连结 DC，当 DC为O 的切线时(1)求证：DCAC；(2)若 DCDB，O 的半径为 1，请直接写出 DC 的长为_.切线的性质：遇切线连结圆心和切点证明：(1)如图，连结 OD，CD 是O 的切线，CDOD，ODC90，BDOADC90，ACB90，AB90，OBOD，OBDODB，AADC，CDAC；(2)DCDB，DCBDBC，DCBDBCBDO，DCBDBCBDOODC180，DCBDBCBDO30，DC 3 OD 3
2、.2如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线 MN 与O 相切于点 C，过点 B 作BDMN 于点 D.(1)求证：ABCCBD；(2)若 BC4 5，CD4，则O 的半径是_.解：(1)证明：如图，连结OC.MN为O 的切线，OCMN.BDMN，OCBD，CBDBCO.OCOB，BCOABC，ABCCBD；(2)如图，连结AC.在RtBCD中，BC4 5，CD4，BD BC2CD2 8.AB 是O 的直径，ACB90，ACBCDB.又ABCCBD，ABCCBD，ABBC CBBD，即AB4 5 4 58，AB10，O 的半径是5.3(2020慈溪市模拟)如图，在 RtABC 中，C9
3、0，O 在 AB 上，以 O 为圆心，以OA 长为半径的圆分别与 AC，AB 交于点 D，E，直线 BD 与O 相切于点 D.(1)求证：CBDA；(2)若 AC6，ADBC1 2.求线段 BD 的长；求O 的面积解：(1)证明：连结 OD，直线 BD 与O 相切于点 D，BDO90，BDCODA90，C90，CBDBDC90，ODOA，ODAOAD，BDC OAD90，CBDA；解：(2)可证ACBBCD，BCAC CDBC，AC6，ADBC1 2.设ADx，BC 2 x，2x66x2x，解得：x3.BC3 2，CDACAD3，BD3 3；由可知 BC3 2.又C90，AC6，在 RtABC
4、中，由勾股定理得：AB（3 2）262 3 6，设OAODr，则OB3 6 r，在RtOBD 中，由勾股定理得：r2(3 3)2(3 6 r)2，解得：r3 64，O 的面积为：(3 64)2278.4(2020温州一模)如图，四边形 ABCD 中，B90，以 AD 为直径的O 交 AB 于点E，与 BC 相切于点 C，连结 CE.(1)求证：CDCE.(2)若 AE3，tan D43，求O 的半径解：(1)证明：如图，连结 DE，OC 交于点 F.BC切O 于点 C，OCB90，B90，OCAB，AD 是圆的直径，DEAFEB90，OCDE，CDCE；解：(2)如图，连结AC，四边形ABCD
5、 内接于圆，CEBADC，DACCAB，ADCACB，tan ACBtan CBEtan ADC，设 BE3x，则 BC4x，CE5x，33x4x43，解得：x97，CD457，AD CD2AC2 757，OA7514.5如图，在ABC 中，C90，ACB的平分线交AB 于点O，以O 为圆心的O 与 AC 相切于点D.(1)求证：O 与BC 相切；(2)当AC3，BC6 时，求O 的半径切线的判定(一)无切点，作垂线，证半径解：(1)证明：过点 O 作 OFBC，垂足为 F，连结OD，AC 是圆的切线，ODAC，又OC 为ACB 的平分线，OFOD，即 OF 是O 的半径，BC 与O 相切；(
6、2)SABCSAOCSBOC，即 12 ACBC12 ACOD12 BCOF，OFODr，r(ACBC)18，解得：r2，即O 的半径为 2.6(2020拱墅区校级一模)如图，D，E 是以 AB 为直径的O 上两点，且AED45.(1)过点 D 作 DCAB，求证：直线 CD 与O 相切；(2)若O 的半径为 12，sin ADE34，求 AE 的长(二)有切点，连半径，证垂直证明：(1)连结 OD，AED45，由圆周角定理得：AOD2AED90，CDAB，CDOAOD90，即 ODCD，OD 过 O，直线 CD 与O 相切；解：(2)连结 BE，AB 为O 的直径，AEB90，由圆周角定理得
7、：BADE，sin ADE34，sin ADEsin B，sin BAEAB，O 的半径为 12，AE24 34，解得：AE18.7如图，在ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，连结 DE.(1)求证：直线 DF 与O 相切；(2)若 AE7，BC6，求 AC 的长解：(1)证明：如图，连结 OD.ABAC，BC，ODOC，ODCC，ODCB，ODAB，DFAB，ODDF，点 D 在O 上，直线 DF 与O 相切；解：(2)四边形 ACDE 是O 的内接四边形，AEDACD180，AEDBED180，BEDACD
8、，BB，BEDBCA，BDAB BEBC，ODAB，AOCO，BDCD12 BC3，又AE7，37BE BE6，BE2，ACABAEBE729.8(2020杭州模拟)如图，O 的圆心 O 在 RtABC的直角边 AC 上，O 经过 C，D 两点，与斜边 AB交于点 E，连结 OB，ED，有 OBED，作弦 EFAC于点 G，连结 DF.(1)判断直线 AB 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若O 的半径为 5，sin DFE35，求 EF 的长解：(1)直线 AB 与O 相切证明：如图，连结 OE.可证BCOBEO(SAS)，BEOBCO90，即 OEAB，AB 是O 的切线，即 AB 与O 相切；解：(2)如图，连结 CE，易得DFE4，CD2OC10.CD 为O 的直径，在 RtCDE 中，EDCDsin4CDsin DFE1035 6，CE CD2ED2 10262 8.在 RtCEG 中，EGCE sin 4，EG35 8245.根据垂径定理，得 EF2EG485.
