1、1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)一选择题：本大题共15小题；第(1)(10)题每小题4分，第(11)第(15)题每小题5分，65分在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600( ) (2) 函数y=a|x|(a1)的图像是( )(3) 已知直线x=a(a0)和圆(x1)2y2=4相切，那么a的值是( )A. 5； B. 4； C. 3； D. 2。(4) 两条直线A1xB1yC1=0，A2xB2yC2=0垂直的充要条件是( )A B C D (5) 函数f(x)=( x0)的反函数f1(x)= ( )A x(x0) B C -x(x0) D（6）、已知点在
2、第一象限，则在内的取值范围是A B C D (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )A120 B150 C180 D240 (8) 复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( )A B C D (9) 如果棱台的两底面积是S，S，中截面的面积是S0，那么( )A B C D (10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士不同的分配方A. 6种； B. 12种； C. 18种； D. 24种。(11) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12)
3、椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 A. ； B. ； C . ； D. 。(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为( )A B C2 D(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )A； B； C； D。 (15) 等比数列an的公比为，前n项的和Sn满足Sn=，那么的值为( ) A. ； B. ； C. ； D. 。二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲
4、线上，则圆心到双曲线中心距离是 (17) (x2)10(x21)的展开的x10系数为_（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x)=4sin(2x)(xR)，有下列命题y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x)；y=f (x)是以2为最小正周期的周期函数；y=f (x)的图像关于点对称；y=f (x)的图像关于直线x=对称其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)三解答题：本大题共6小题；共69分解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤(20) (本小题满分10分)设ab，解关于x的不等式a2xb2(1x)axb(1x)2(21) (本小题满分11分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设ac=2b，AC=，求sinB的值以下公式供解题时参考：，(22) (本小题满分12分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1 l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线C的方程(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABCA1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，A
6、BC=90，BC=2，AC=2，且AA1 A1C，AA1= A1 C1()求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；()求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；()求侧棱B1B和侧面A1 ACC1的距离(24) (本小题满分12分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)(25) (本小题满分12分)已知数列bn是等差数列，b1=1
7、，b1b2b10=100()求数列bn的能项bn；()设数列an的通项an =lg(1)，记Sn是数列an的前n项的和试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一选择题：本题考查基本知识和基本运算第(1)(10)题每小题4分，第(11)(15)题每小题5分满分65分(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分(16)
8、 (17) 5120(18) ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件例如ABCD是正方形，菱形等(19)，注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分三解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法满分10分解：将原不等式化为(a2b2)x+b2(ab)2x22(ab)bxb2， 移项，整理后得 (ab)2(x2x) 0， ab 即 (ab)20， x2x0， 即 x(x1) 0 解此不等式，得解集 x|0x1 (21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力满分11分解：由正弦定理和已知条件ac=2b得sinAs
9、inC=2sinB 由和差化积公式得 由ABC=，得 =， 又AC=，得cos=sinB， cos=2sincos 0， 0， sin=，从而cos= sinB= (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力满分12分解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px (p0)，(xAxxB，y0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|所以
10、M (，0)，N (，0) 由 |AM|=，|AN|=3得(xA)22PxA=17， (xA)22PxA=9 由、两式联立解得xA=，再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形，所以xA，故舍去 P=4，xA=1由点B在曲线段C上，得xB=|BN|=4综上得曲线段C的方程为y2=8x (1x4，y0)解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=2，由于AMN为锐角三角形，故有xN=|AE|+|E
11、N|=4=|ME|+=4XB=|BF|=|BN|=6 设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合(x，y)|(xxN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故曲线段C的方程y2=8(x2)(3x6，y0) (23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力满分12分注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分解：()作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD为A1A与面ABC所成的角 AA1A1C，AA1=A1C， A1AD=45为所求 ()作DEAB，垂
12、足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EABA1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角 由已知，ABBC，得EDBC又D是AC的中点，BC=2，AC=2， DE=1，AD=A1D=，tgA1ED=故A1ED=60为所求 () 作BFAC，F为垂足，由面A1ACC1面ABC，知BF面A1ACC1 B1B面A1ACC1， BF的长是B1B和面A1ACC1的距离在RtABC中， 为所求(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识满分12分解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例
13、系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小根据题设，有4b2ab2a=60(a0，b0)， 得 (0a30， 于是 当a2=时取等号，y达最小值 这时a=6，a=10(舍去)将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大由题设知 4a2ab2a=60 (a0，b0) 即 a2bab=30 (a0，b0) a2b2， 2ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18 2b2=18解得b=3，a=6故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质
14、量分数最小(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力满分12分解：()设数列工bn的公差为d，由题意得b1=1，10b1=100解得 b1=1，d=2 bn=2n1 ()由bn=2n1，知Sn=lg(11)lg(1)lg(1) =lg(11)(1) (1)，lgbn1=lg因此要比较Sn与lgbn1的大小，可先比较(11)(1) (1)与的大小取n=1有(11)，取n=2有(11)(1)由此推测(11)(1) (1) 若式成立，则由对数函数性质可判定：Snlgbn1 下面用数学归纳法证明式(i)当n=1时已验证式成立(ii)假设当n=k (k1)时，式成立，即(11)(1) (1)， 那么，当n=k1时，(11)(1) (1)(1)(1)=(2k2) (2k2)22=0， (2k2) =因而 (11)(1) (1)(1)这就是说式当n=k1时也成立由(i)，（ii）知式对任何正整数n都成立由此证得：Snlgbn1
