1、四川省绵阳中学2021届高三数学7月第一次周测试题 理(平行班,含解析)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,则( )ABCD2复数满足,则的最大值等于( )ABC3D3已知向量满足,且,则向量在方向上的投影为( )ABCD4命题,则为( )A,B,C,D,5过点的直线与抛物线交于两点,则面积的最小值为( )ABCD26将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则实数的值为( )A2BCD7改编自中国神话故事的动画电影哪吒之魔童降世自7月26日首映,在不到一个月的时间,票房收入就超过了38亿元,创造了中国动画电影的
2、神话小明和同学相约去电影院观看哪吒之魔童降世,影院的三个放映厅分别在7:30,8:00,8:30开始放映,小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院,且他们到达影院的时间是随机的,那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )ABCD8设的展开式中各项的二项式系数之和为,的展开式中各项的二项式系数之和为,若,则的展开式中各项系数之和为( )A16B32C81D2439已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )ABCD10已知实数,则的大小关系是( )ABCD11如图所示,在三棱锥中,点在平面内的投影恰好落在上,且,则三棱锥外接球的表面积为( )ABCD12若函数在上有两
3、个零点,且,则实数的最大值为( )ABCD第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13在人类与大自然的较量中,经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化人类对天气变化经历了漫长的认识过程,积累了丰富的气象经验三国时期,孙刘联军运用气象观测经验,预报出会有一场大雾出现,并在大雾的掩护下,演出了一场“草船借箭”的好戏,令世人惊叹小明计划8月份去上海游览,受台风“利马奇”的影响,上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为08,那么小明在上海游览的3天中,只有1天不发生雷雨天气的概率约为_14已知数列、都是等差数列,其前项和分别为和,若对任意的都有,则_15是幂函数图象上的点,将的图象向右平移2个单位
4、长度,再向上平移个单位长度,得到函数的图象,若点(,且)在的图象上,则_16已知为双曲线的左右焦点,为双曲线右支上异于顶点的任意一点,若内切圆的圆心为,则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为_三、解答题:本大题共6个大题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(12分)在中,角所对的边分别是,(1)若,求;(2)若边上的高之比为,求面积的最大值18(12分)如图,在平行四边形中,为中点将沿折起使平面平面,得到如图所示的四棱锥(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19(12分)足球比赛中,一队在本方罚球区内犯规,会被判罚点球,点球是进攻方非常有效的得分手段研究机构对某位
5、足球队员的1000次点球训练进行了统计分析,以帮助球员提高点球的命中率如图,将球门框内的区域分成9个区域(区域代码为19,球门框外的区域记做区域0),统计球员射点球时射中10个区域次数和进球次数(即使射中球门框内,也可能被守门员扑出),得到如下的两个频率分布条形图:(其中射中率,得分率)(1)根据上述频率分布条形图,求射中球门框内时,各区域进球数的平均数(结果保留两位小数)和中位数;(2)以该队员这1000次点球练习的进球频率作为他在比赛中射点球时进球的概率,设他在三次射点球时进球数为,求的分布列和期望20(12分)在平面直角坐标系中,的顶点,且、成等差数列(1)求的顶点的轨迹方程;(2)直线
6、与顶点的轨迹交于两点,当线段的中点落在直线上时,试问:线段的垂直平分线是否恒过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由21(12分)设函数(1)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;(2)设,若当时,函数的两个极值点满足,求证:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,曲线与曲线的参数方程分别为(为参数)和(为参数)(1)当时,求曲线与曲线的普通方程;(2)设,若曲线与曲线交于两点,求使成为定值的点的坐标23(10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数(1)若时,恒成立,求实数的取值范围;
7、(2)当时,求函数在上的最大值一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】由,解得或,由,解得或,故选C2【答案】C【解析】设,由,可得,又,又在上是单调减函数,故故的最大值等于3,故选C3【答案】B【解析】因为,故可得,故,则向量在方向上的投影为,故选B4【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题,且,故,故选D5【答案】A【解析】设直线方程为,由,得,当且仅当时,即直线方程为时,取得最小值,面积的最小值为,故选A6【答案】B【解析】因为,故,故,故选B7【答案】C【解析】由题意可知,满足条件的时间段为7:508:00,
8、8:208:30,共20分钟,7:40至8:30之间共计50分钟,由几何概型知所求概率为,故选C8【答案】C【解析】由,得,解得,令,故可得的展开式中各项系数之和为,故选C9【答案】B【解析】由三视图知,该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥,故选B10【答案】D【解析】因为,且,同理,故选D11【答案】D【解析】由已知可知平面,平面平面,又因为,平面,可构造直三棱柱,直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球,且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点在中,由正弦定理可求得外接圆半径为,外接球半径为,三棱锥外接球的表面积为,故选D12【答案】B【解析】由,可得设,则,设,设,则,为减函数,故
9、,即,由,不妨设,则,为增函数,实数的最大值为,故选B第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13【答案】【解析】根据题意,容易知满足题意的概率,故答案为14【答案】【解析】根据等差数列前项和的性质,可设(,且),则,故答案为15【答案】30【解析】由,得,因为点在函数上,即,故答案为16【答案】1【解析】由双曲线,则,设内切圆与的三边的切点分别为,根据圆的切线性质,可得,又因为,即,内切圆圆心在直线上,又因为圆的圆心为,半径,圆心到圆上任意一点的距离的最小值为,故答案为1三、解答题:本大题共6个大题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】(1);(2)【解析】(1),解
10、得,或(舍),(2)设边上的高分别为、,则,由余弦定理可得,则,则由三角形两边之和大于第三边可得,解得,设,则,又,其对称轴为,且开口向下,故,当且仅当,即时,取得最大值,故三角形面积的最大值为18【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:在图中连接,因为,为中点,故可得为等边三角形,故可得,在中,由余弦定理可得,解得又,故可得,在图中,平面平面,且平面平面,平面,又平面,平面平面(2)以为坐标原点,为轴,为轴,过点垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,故可得,设平面的一个法向量,由,令,可得,设直线与平面所成角的正弦值为,则,直线与平面所成角的正弦值为19【答案】
11、(1)平均数为,中位数为81;(2)分布列见解析,【解析】(1)由频率分布直方图可知,射中门框内的区域1时,进球数为,同理可求得区域2-9的进球数分别为:63,91,91,81,81,81,70,70各区域进球数的平均数,容易知中位数为81(2)由(1)可知该队员这1000次点球练习的进球数:,他在比赛中射点球时进球的概率进球数为一个随机变量,可能取值为0,1,2,3,且,随机变量的分布列为:0123002701890441034320【答案】(1);(2)恒过定点,定点【解析】(1)在中,根据正弦定理,可得,且,由椭圆定义,可知顶点的轨迹为中心在原点,以为焦点的椭圆(不包括与轴交点),轨迹方
12、程为(2)设,由,得,点落在直线上,线段的垂直平分线方程为,即,线段的垂直平分线恒过定点21【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由已知,可知函数的定义域为,在上有两个零点,设,当时,为增函数,不存在两个零点;当时,得,时,为增函数;时,为减函数,且此时当趋近于时,趋近于负无穷;当趋近于正无穷时,趋近于负无穷故要满足题意,只需,实数的取值范围是(2)证明:,由的两根为,故可得,又,解得,设,则,当时,为增函数;当时,为减函数,令,则,在时单调递减,成立22【答案】(1),;(2)点的坐标为【解析】(1)消去参数,得到曲线的普通方程为,曲线的普通方程为(2)将的参数方程代入,可得,设,两点对应的参数分别为,当时,为定值,与曲线的倾斜角无关,点的坐标为23【答案】(1);(2)【解析】(1),由恒成立,得,恒成立设,则,的取值范围是(2)当时,当且仅当,即时取“”号又,当时,函数在上的最大值为