1、北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(文)试卷 2013.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B） （C）（D） 【答案】B，所以，选B.2复数 （A）（B）（C）（D）【答案】A，选A.3执行如图所示的程序框图若输出，则输入角 （A）（B）（C）（D）【答案】D由题意知。因为，所以只有，因为，所以，选D.4设等比数列的公比为，前项和为，且若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B由得，即，所以，解得，又，所以的取值范围是，选B.5某正三棱柱的三视图如图所示
2、，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（A） （B）（C） （D）【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为，侧面积为，所以正三棱柱的表面积是，选C.6设实数，满足条件 则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】C设，则。作出不等式对应的平面区域，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时，所以的最大值为4，选C.7已知函数，则“”是“，使”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A若，则，所以，使，成立。若，使，则有，即即可，所以当时，满足，所以“”是“，使”的充分不必要条件
3、，选A.8如图，正方体中，是棱的中点，动点在底面内，且，则点运动形成的图形是（A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分【答案】B因为，所以点P的轨迹为为球心，以为半径的球，又在底面内，运动形成的图形是球与底面的交线，所以为圆弧，选B.第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知向量，若向量与垂直，则实数_【答案】0，因为向量与垂直，所以，解得。10已知函数 则_【答案】。11抛物线的准线方程是_；该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则_【答案】；由得焦点坐标为，准线方程为。过作准线的垂线交准线于，则，即，所以。12某厂对一批元件进行抽样检
4、测经统计，这批元件的长度数据 (单位：)全部介于至之间将长度数据以为组距分成以下组：，得到如图所示的频率分布直方图若长度在内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_ 【答案】不合格的频率为，所以合格的频率为，所以根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是。13在中，内角，的对边边长分别为，且若，则的面积是_ 【答案】由得，即，即，所以或，即或.因为，所以，即，所以不成立，舍去，所以，即.因为，所以，解得，所以的面积是。14已知数列的各项均为正整数，其前项和为若且，则_；_.【答案】，若是奇数，则为偶数，所以，因为，所以，解得。若是偶数，则，若是偶数，所以，所以，即不是偶数，
5、所以不成立。若是奇数，所以，所以，即不是偶数，所以不成立。因为，所以，。所以。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数的一个零点是 （）求实数的值； （）设，求的单调递增区间 16（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/， （）求证：平面；（）求四面体的体积； （）线段上是否存在点，使/平面？证明你的结论17（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人
6、停车都不超过小时（）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率18（本小题满分13分）已知函数，其中（）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围19（本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点（）若点的横坐标为，求直线的斜率；（）记的面积为，（为原点）的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由20（本小题满分13分）已知集合 对于，定义；与之间的距离为（）当时，设，求；（）证明
7、：若，且，使，则；（）记若，且，求的最大值北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6C； 7A； 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11，； 12； 13； 14，注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：依题意，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 8分 10分由 ，得 ， 12分所
8、以 的单调递增区间为， 13分16（本小题满分14分）（）证明：在中，因为 ，所以 2分又因为 ， 所以 平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 6分 在等腰梯形中可得 ，所以 所以的面积为 7分所以四面体的体积为： 9分（）解：线段上存在点，且为中点时，有/ 平面，证明如下：10分连结，与交于点，连接因为 为正方形，所以为中点 11分 所以 / 12分因为 平面，平面， 13分 所以 /平面所以线段上存在点，使得/平面成立 14分17（本小题满分13分）（）解：设“甲临时停车付费恰为元”为事件， 1分 则 所以甲临时停车付费恰为元的概率是 4分（）解：设甲停车付费元，乙停车付费元，其
9、中 6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：，共种情形 10分其中，这种情形符合题意 12分故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为 13分18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， 且 2分 当时，故在上单调递增 从而没有极大值，也没有极小值 4分 当时，令，得 和的情况如下： 故的单调减区间为；单调增区间为从而的极小值为；没有极大值 6分（）解：的定义域为，且 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意 9分 当时，在上单调递减当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 11分当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 13分19（本小
10、题满分14分）（）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为 1分将其代入，整理得 3分设，所以 4分故点的横坐标为依题意，得， 6分解得 7分（）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直由（）可得 8分因为 ，所以 ， 解得 ， 即 10分因为 ，所以 11分所以 ， 12分整理得 13分因为此方程无解，所以不存在直线，使得 14分20（本小题满分13分）（）解：当时，由，得 ， 所以 3分（）证明：设，因为 ，使，所以 ，使得 ，所以 ，使得 ，其中所以 与同为非负数或同为负数 6分 所以 8分（）解法一：设中有项为非负数，项为负数不妨设时；时，所以 因为 ，所以 ， 整理得 所以 10分因为 ；又 ，所以 即 12分对于 ，有 ，且，综上，的最大值为 13分解法二：首先证明如下引理：设，则有证明：因为 ，所以 ，即 所以 11分 上式等号成立的条件为，或，所以 12分 对于 ，有 ，且，综上，的最大值为 13分w.w.k.s.5.u.c.o.m
