1、第十节圆锥曲线中的证明与存在性问题考点1证明问题圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明，多采用直接法证明，有时也会用到反证法(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l
2、与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.把证明ABMABN转化为证明kBMkBN0是解题的关键(
3、2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一
4、直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.考点2存在性问题圆锥曲线中存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法(2019泉州模拟)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量0.(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为
5、直径的圆经过点F1，问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由解(1)易知a2，因为0，所以BF1F2为等腰直角三角形所以bc，由a2b2c2可知b，故椭圆的标准方程为1.(2)由已知得b2c2，a22c2，设椭圆的标准方程为1，点P的坐标为(x0，y0)因为F1(c,0)，B(0，c)，所以(x0c，y0)，(c，c)，由题意得0，所以x0cy00.又因为点P在椭圆上，所以1，由以上两式可得3x4cx00.因为P不是椭圆的顶点，所以x0c，y0c，故P.设圆心为(x1，y1)，则x1c，y1c，圆的半径rc.假设存在过点F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程
6、为yk(xc)，由相切可知r，所以c，即20k220k10，解得k.故存在满足条件的直线，其斜率为.本例第(2)问中，涉及直线与圆相切问题，需要求出圆心和半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列等式求解教师备选例题(2019长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A，B，则F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C：1(ab0)，e，ac1，a2，c1，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，
7、y1)，B(x2，y2)，不妨设y10，y20，即f(t)在区间1，)上单调递增，f(t)f(1)4，SF1AB3，即当t1，m0时，F1AB的面积取得最大值3，此时直线l的方程为x1.(2019哈尔滨模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3.(1)求椭圆C的方程；(2)在圆x2y23上是否存在一点P，使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由解(1)e，3a24b2.又|AB|3，a2，b.椭圆C的方程为1.(2)假设存在点P，使得.当直线l的斜率不存在时，l：x或x，与椭圆C：1相交于M，N两点，此时M，N或M，N，30，当直线l的斜率不存在时，不满足.当直线l的斜率存在时，设ykxm，联立得(34k2)x28kmx4m2120.直线l与椭圆C相交于M，N两点，0，化简得4k2m23.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.0，0，7m212k2120.又直线l与圆x2y23相切，m233k2，2121k212k2120，解得k21，显然不成立，在圆上不存在这样的点P使成立
