1、专题：电磁感应中的电路分析和图象问题一、电路分析 在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，将它们接上电容器，便可使电容器充电；将它们接上电阻等用电器，便可对用电器供电，在回路中形成电流，因此，电磁感应问题又往往很电路问题联系在一起，解决这类电磁感应中的电路问题，不仅要应用电磁感应的有关规律，如右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等；还要应用电路中的有关规律，如欧姆定律，串并联电路的性质等，要将电磁感应、电路的知识，甚至和力学知识综合起来应用。其主要步骤是：1.确定电源产生感应电流或感应电动势的那部分电路就相当于电源，利用法拉第电磁感应定
2、律确定其电动势的大小，利用楞次定律确定其正负极需要强调的是：在电源内部电流是由负极流向正极的，在外部从正极流向外电路，并由负极流人电源如无感应电流，对感应电动势方向的判断，则可以假设电流如果存在时的流向2.分析电路结构，画出等效电路图这一步的实施的本质是确定“分析”的到位与准确承上启下，为下一步的处理做好准备3.利用电路规律求解主要还是欧姆定律、串并联电路、电功、电热【例1】如图所示，粗细均匀的金属环的电阻为R，可转动原金属杆OA的电阻为R/4，杆长为L，A端与环相接触，一定值电阻分别与杆的端点O及环边连接，杆OA在垂直于环面向里的、磁感应强度为 B的匀强磁场中，以角速度顺时针转动，又定值电阻
3、为R/2，求电路中总电流的变化范围。解析：设某一时刻金属杆转至图示位置，杆切割磁感线产生感应电动势相当于电源，金属杆上由A沿顺时针方向到D和沿逆时针方向到D的两部分电阻（分别设为Rx和Ry）并联，再与定值电阻R/2串联，组成外电路，等效电路如图所示。则电路中的总电流 I=/R总，而=LVB=1/2L2B R总=R/4十R并十R/2=3R/4R并，所以I=1/2L2B/（3R/4R并）上式中R并=RxRy/（RxRy），由于RxRy=R为定值，当Rx=Ry时RxRy有最大值，即R并有最大值，此最大值为R/4，所以I的最小为L2B/2R。当Rx=0或Ry=0时，R并有最小值零，所以I的最大值为2L
4、2B/3R。从而L2B/2RI2L2B/3R。【例2】如图所示，半径为a的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度B0.2 T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地旋转，磁场与环面垂直，其中a=0.4 m,b0.6m.金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R02.一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均不计（1)若棒以v0=5 m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径00的瞬时,MN中的电动势和流过L1的电流 (2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O/以OO/为轴向上翻转900，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为T/s，求L1的功率解析:（1)棒匀速滑动到
5、直径OO/的瞬时，垂直切割磁感线的有效长度为2a,故产生感应电动势E1=B2av0=0.220.45=0.8(V)，灯L1 , L2并联电压都为0. 8V,故流过灯L1的电流I1=E/R0=0.4(A) (2)撤去中间的金属棒MN，右面的半圆环OL2O/以OO/为轴向上翻转900，有效的磁场减为一半，面积为a2/2,根据法拉第电磁感应定律,此刻电路串联，灯L1的功率=1.28 102 W二、图象问题 电磁感应中常涉及磁感应强度B、磁通量、感应电动势e和感应电流I随时间t变化的图线，即Bt图线、一t图线、e一t图线和I一t图线。对于切割产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势和感应电流
6、随位移X变化的图线，即eX图线和IX图线。这些图象问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象，或由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量，不管是何种类型，电磁感应中的图象常需利用右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等规律分析解决感应电流的方向和感应电流的大小。顺时针【例3】一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，规定向里的方向为正。在磁场中有一细金属圆环，圆环平面位于纸面内，如图所示。现令磁感应强度B随时间t变化，先按下图中的oa图线变化，后来又按bc和cd变化，令E1,E2, E3,分别表示这三段变化过程中的感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则（
7、 ）A. ElE2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向.B. ElE2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向.C. E1E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向D.E2=E3, I2沿顺时针方向，I3沿顺时针方向解析:分析感应电流方向：B外表示外加磁场,B内表示感应电流的磁场，环内磁通量的变化是外加磁场的变化引起的。由题知图线oa、bc段表示外加磁场方向向里，cd段表示外加磁场方向向外。当B外按图线oa变化时环内的磁通量增大，则B感方向应向外；当B外沿bc段变化时，外加磁场向里的磁通量减少，则B感方向应向里；B外按cd变化时，外加磁场向外的磁通量增大，B感方向应向里。由安培定则判断知:B外在oa
8、段的变化，感应电流方向逆时针的；B外在bc、cd段的变化，感应电流方向是顺时针的.感应电动势的大小:E=/t=BS/t,由图可看出B外的变化率在bc段和cd段是相同的，而oa段的B外的变化率比bc和cd段小，因此ElE2=E3.答案【例4】如图所示，竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路，导线所围区城内有一垂直纸面向里的变化的匀强磁场，螺线管下方水平桌面上有一导体圆环导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度按图中哪一图线所表示的方式随时间变化时，导体圆环将受到向上的磁场作用力（）BACD解析：A图中磁感应强度随时间增加，导线回路中电流是cba螺线管dc方向又磁场变化率不断减小，在螺线管中电流减小
9、，因此，螺线管产生的磁场穿过圆环的磁感线变少根据楞次定律，为阻碍这种变化，圆环将靠近螺线管，即受到向上的磁场的作用力B图磁场变化率变大螺线管中产生的电流变大，穿过圆环的磁感线变多，要排斥圆环；C,D图磁场是均匀变化的，螺线管中感应电流是稳定的，它产生的磁场是不变的，穿过圆环中的磁通量不变，无感应电流产生，与螺线管磁场无相互作用因此本题正确选项是A. 【例5】如图中 A是一个边长为L的正方形线框，电阻为R，今维持线框以恒定的速度v沿x轴运动。并穿过图中所示的匀强磁场B区域，若以X轴正方向作为力的正方向，线框在图示位置的时刻作为时间的零点，则磁场对线框的作用力F随时间t的变化图线为图中的 解析：线
10、圈A运动的第1个时间单位（未入磁场），没有感应电流，安培力为零；第2个时间单位A的前边切割感线产生恒定感应电流，此时安培力也是恒定的，安培力阻碍线圈A的相对运动，故F的方向沿x方向；线圈完全进入磁场不再有感应电流，安培力为零，这一段运动了两个时间单位；当线圈出磁场时，它的后边做切割磁感线运动，产生感应电流，此时的安培力与进入时等大，方向仍沿一x方向，故选B。【例6】一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁感强度B的正方向，线圈中的箭头为电流I的正方向线圈及线圈中感应电流I随时间变化的图线如图所示，则磁感强度B随时间变化的图线可能是图中的（ ）解析：在线圈中感应电流的方向是顺时
11、针为正，由其感应电流的图象可知线圈中开始的电流是逆时针方向，感应电流的磁场是垂直于纸面出来的，若是原磁场是进去的（正方向），则原磁场应是加强的，在Bt图象上的斜率为正值，经过T4后，感应电流反向，说明原磁场是减弱的，图象的斜率为负值，再过T2，图象的斜率为正值所以C、D两图正确点评：用图象的斜率来分析，根据线圈中感应电流的方向来判断线圈所在处的磁场的变化率，再反过来应用图象的变化率来判断感应电流的方向，这个方法很重要它说明了感应电流的方向只与磁场的变化率有关，而与磁场的磁感强度的大小和方向无关，就像速度与位移的大小和方向无关，只与位移的变化率有关一样【例7】如图(a）所示，一个边长为a，电阻为
12、R的等边三角形线框在外力作用下以速度v匀速地穿过宽度为a的两个匀强磁场这两个磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直取逆时针方向的电流为正，试通过计算，画出从图示位置开始，线框中产生的感应电流I与沿运动方向的位移X之间的函数图象解析:线框进入第一个磁场时，切割磁感线的有效长度在随位移均匀变化在位移由0a/2过程中，切割的有效长度由0增大到，电流为逆时针；在位移由a/2a时，切割边bc和cd上产生的感应电动势在整个闭合回路中反向串联，随着cd边上切割的有效长度变长，整个回路的电动势由大变小，电流为逆时针；在xa/2时；xa时，E0，I0；线框穿越两磁场边界时，
13、线框bc边进入磁场2的那部分切割产生的电动势与cd边在磁场1中切割产生的电动势同向，而与bc边在磁场1中切割产生的电动势反向；所以在位移由a3a/2时，电动势由0 ；电流由0；电流方向为顺时针；当位移由3a/2 2a时，电动势由0，电流仍顺时针 线框移出第二个磁场时的情况与进入第一个磁场时相似 由此可得，Ix图象应如图(b)所示【例8】如图（l）所示，OO/和OPQ是位于同一水平面上的两根金属导轨，处于竖直方向的匀强磁场中，磁感强度为B，导轨OP与OO/成45o角，PQ与OO/平行，相距为d，且足够长一金属杆在t0的时刻从O点出发，以恒定的速度v沿导轨向右滑动，在滑动过程中，杆始终保持与OO/
14、垂直，且与两导轨接触良好，金属杆和导轨OO/的电阻可以不计，OPQ有电阻，且每单位长度的电阻力R，求在开始滑动后的任一时刻t，通过金属杆的电流强度i，并在图（2）中的it坐标上定性地画出电流i随时间t变化的关系曲线解析：金属杆在 Op段上运动时切割磁感线的长度为L；由题图可知 Lvt，产生的感应电动势为1=BLvBv2t闭合回路中的电阻为R1=vtR，感应电流为I11Rl=BvR感应电流的表达式说明了当金属杆在OP上滑行时，闭合回路中的感应电流是不变的，当金属杆进行了PO段后，金属杆上的感应电动势不变，为2= Bdv而回路中的电阻R2=（dvt）R，回路中的感应电流为I22R2Bdv/（dvt
15、）R当金属杆进人了PQ段后，感应电流的表达式说明随着时间的延长，回路中感应电流在减小，当时间t时回路的感应电流 I20回路中感应电流I1不变的时间为 t1dv。由以上分析可作出回路中的感应电流随时间变化的图线如图所示【例9】在图甲中，直角坐标系0xy的1、3象限内有匀强磁场，第1象限内的磁感应强度大小为2B，第3象限内的磁感应强度大小为B，磁感应强度的方向均垂直于纸面向里.现将半径为l，圆心角为900的扇形导线框OPQ以角速度绕O点在纸面内沿逆时针匀速转动，导线框回路电阻为R.(1)求导线框中感应电流最大值.(2)在图乙中画出导线框匀速转动一周的时间内感应电流I随时间t变化的图象.(规定与图甲中线框的位置相对应的时刻为t=0)(3)求线框匀速转动一周产生的热量.O2BxBy图甲PlQIOt图乙解:(1)线框从图甲位置开始(t=0)转过900的过程中，产生的感应电动势为: (4分)由闭合电路欧姆定律得，回路电流为： (1分)联立以上各式解得: (2分)同理可求得线框进出第3象限的过程中，回路电流为: (2分)故感应电流最大值为: (1分)IOtI1-I1I2-I2(2)It图象为: (4分)(3)线框转一周产生的热量: (2分)又 (1分)解得: (1分)
