1、第7章 不等式、推理与证明第一节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(6
2、)开方法则：ab0(n2，nN)；(7)倒数性质：设ab0，则a.3“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1xx21若ab0，m0，则；若ba0，m0，则.2(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间3恒成立问题的转化：af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.4能成立问题的转化：af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)ab
3、ac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数f(x)的定义域为()A0,3B(0,3)C(，03，)D(，0)(3，)A要使函数f(x)有意义，则3xx20，即x23x0，解得0x3.2设A(x3)2，B(x2)(x4)，则A与B的大小关系为()AAB BABCAB DABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810，AB，故选B.3设ba，d
4、c，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdDadbcC由同向不等式具有可加性可知C正确4若不等式ax2bx20的解集为，则ab_.14由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)ab14.考点1比较大小与不等式的性质比较大小的五种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较(4)不等式的性质法(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论1.若a，b，cR
5、，且ab，则下列不等式一定成立的是()AacbcB(ab)c20Cacbc D.B(不等式的性质法)a，b，cR，且ab，可得ab0，因为c20，所以(ab)c20.故选B.2若a0，b0，则p与qab的大小关系为()ApqDpqB法一： (作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.法二： (特殊值排除法)令ab1，则pq2，排除选项A、C; 令a1，b2，则pq，排除选项D.故选B.3(2019全国卷)若ab，则()Aln(ab)0B3a3bCa3b30D|a|b|C法一：由函数yln x的图像(图略)知
6、，当0ab1时，ln(ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|b|，故D不正确故选C.法二：当a0.3，b0.4时，ln(ab)0,3a3b，|a|b|，故排除A，B，D.故选C.4设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_5,10法一：(待定系数法)设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10
7、.法二：(运用方程思想)由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：(借助线性规划)由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10. (1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.考点2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)32xx20；(2)ax2(a1)x10(
8、aR)解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3(2)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解 (x1)0得1x.综上所述：当a1；当0a1时，解集为.母题探究将本例(2)中不等式改为x2(a1)xa0(aR)，求不等式的解集解原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a0的解集为，则不等式bx25xa0的解集为()ABCx|3x2Dx|x2C由题意知a0，且，是方程ax25xb0的两根，解得b
9、x25xa5x25x300，即x2x60，解得3xa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0，0不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2本题在求解中常因忽略“a20”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况若不等式2kx2
10、kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0在给定区间上恒成立，求参数的范围 在给定某区间上恒成立，形如f(x)0或f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值一题多解已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即mm60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)
11、maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.母题探究若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6)函数最值法、分离参数法及数形结合法是解决不等式在给定某区间上恒成立问题的三种常用方法每种方法对于不同试题各有优劣，要牢牢掌握，灵活使用，特别是数形结合时
12、，满足条件的图像要画全，画对二次函数问题建议多考虑，对应二次函数图像，建议恒成立或能成立问题求参数范围时，首选分离参数法若不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，则a的取值范围为_ 5，)由不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，得a对一切x(0,1恒成立设f(x)，x(0,1，则只要af(x)max即可由于函数f(x)在区间(0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.给定参数范围的恒成立问题形如f(x)0或f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，即将原不等式转化为g(m)0或g(m)0恒成立问题对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值
13、恒大于零，则x的取值范围是_x|x3对任意的k1,1，x2(k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x3.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图1，当g(x)的图像与x轴不超过1个交点时，有a24(3a)0，即6a2.如图2，g(x)的图像与x轴有2个交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图3，g(x)的图像与x轴有2个交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)
