1、 高一数学学科试题 第 1 页 共 4 页 2020-2021 学年第二学期郎溪中学、泾县中学直升部 3 月联考 高一数学试题 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分）1.已知全集UR，集合|(3)0|2Ax x xBx yx，则()U AB等于（）A.(0,2)B.(0,3)C.D.(0,2 2.复数 z 满足1243i zi（i 为虚数单位），则复数 z 的模等于（）A.55 B.5 C.2 5 D.4 5 3.已知命题:px R，|1|0 xx，:q “ab”是“lnlnab”的充要条件，则（）A pq为真命题 Bpq为真命题 C pq为真命题 Dpq 为假命题 4.如图，在ABC中
2、，12BDDC，EDAE3，若 ABa，ACb，则 BE等于（）A 1133ab B1124ab C 1124ab+D1133ab 5.定义在 R 上的偶函数|1()()22x mf x，设12311(log),(),()33afbfcf m,则 A.abc B.acb C.cab D.bac 6：函数2()xxxf xe的大致图象为（）A.B.C.D.7：在 ABC中，已知12 5tan,cos35AB，若 ABC最长边为 10，则最短边长为（）高一数学学科试题 第 2 页 共 4 页 A 2 B 3 C 5 D22 8：若ABC的外心为O，且60,2,3AABAC，则OA BAOB CBO
3、C AC 等于（）A5 B8 C10 D13 9：已知关于 x 的不等式2240axxa在0,2 上有解，则实数 a 的取值范围是（）A.1,2 B.1,2 C.,2 D.2,+10：若函数2sin(0)yx的图象在区间(,)3 6 上只有一条对称轴，则 的取值范围为 A.312 B.332 C.34 D.3922 11：圣索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有 114 年的历史，为哈尔滨的标志性建筑1996 年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打
4、卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为15 315 m，在它们之间的地面上的点 M（,B M D 三点共线）处测得楼顶 A，教堂顶C 的仰角分别是15 和60，在楼顶 A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A20m B30m C20 3m D30 3m 12：若平面向量,a b c 满足|3,|2,|1abc，且()=1ab c a b ，则|ab的最大值为 A.3 21 B.3 2+1 C.2 31 D.2 3+1 高一数学学
5、科试题 第 3 页 共 4 页 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.13：函数2651()1142xxxf xx的定义域为_.14：已知函数log,0()|3|,40a x xf xxx ,其中0a 且1a，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于 y 轴对称，则 a 的取值范围是 .15：已知点 O 是ABC 的外接圆圆心，且3,4ABAC,若存在非零实数 x、y，使得 AOxAByAC，且21xy，则cosBAC 16.等腰 ABC中 ABAC,三角形面积 S 等于 2，则腰 AC 上中线 BD 的最小值等于 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写
6、出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10 分）已知36,72AxxBx axa （1）ABB，求 a 的取值范围；（2）()U AB=，求 a 的取值范围 18：（12 分）已知点(2,3),(6,1)AB，O 为坐标原点，P 为 x 轴上一动点.（1）若 AP BP，求点 P 的坐标；（2）当 AP BP 取最小值时，求向量 AP与 BP 的夹角的余弦值.19：（12 分）在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，2 coscoscosbBaCcA.（1）求角 B 的大小；（2）若ABC为锐角三角形，3b，求2ac的取值范围.高一数学学科试题 第 4 页 共 4 页 20：（1
7、2 分）如图,某大型景区有两条直线型观光路线 AE，AF,120EAF,点 D 位于EAF的平分线上，且与顶点 A 相距 1 公里.现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC (,B C 分别在 AE 和 AF上)，围出三角形区域 ABC，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 ABx，ACy(单位：公里).（1）求,x y 的关系式；（2）景区需要对两个三角形区域 ABD、ACD 进行绿化，经测算 ABD 区城每平方公里的绿化费用是ACD 区域的两倍，试确定,x y 的值,使得所需的总费用最少.21：（12 分）已知函数2()2sin sinsin(2)32f xxxx，0,2x.（1）求
8、()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g xf xa有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围.22：（12 分）已知函数32()f xxaxbxc，其中,a b c 均为实数（1）若0(1)(2)(3)3fff，求abc 的范围；（2）若函数1()()g xf xx存在零点且ca，求2ab的最小值 高一数学答案 第 1 页 共 6 页 2020-2021 学年第二学期郎溪中学、泾县中学直升部 3 月联考 高一数学参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分）1.答案：D 解析：因为集合|(3)0(0,3)U Ax x x，=(,2B，所以()(0,2U AB，选 D.2
9、.答案：B 解析：根据复数模的性质.435|51 25izi。3.答案：A 解析：|1|0|1|xxxx，0 x 时右边负数显然成立，0 x 时1xx 也成立，所以命题 p 是真命题对于命题 q，当0a 时 ln a 没有意义，命题 q 是假命题所以pq为假命题，A 错误；pq为真命题，B 正确；pq为假命题，C 错误；pq 为真命题，D 错误。故选 A。4.答案：B 解析：因为EDAE3，所以3()BEBABDBE，所以43BEBABD，又因为12BDDC，所以13BDBC，所以4BEBABC,可得 4()BEBAACAB，所以42BEABAC,即1124BEABAC，即1124BEab.故
10、选：B.5.答案：A 解析：由()f x 是偶函数得0m，|1()()22xf x，在(0,)上单调递减。又1210()13，31log13 ，所以 121(0)()(1)(1)3cfbfaff,选 A 6：答案:C 解析：21()xxx xxxf xee中，0 xe，当1x 或0 x 时()0f x；10 x 时()0f x，看图象知 AB 错误，又,()0 xf x 故选 C.7：答案：A 解析：由题设311cos,sinsin10105AAB，因为 sinsinABab。所以 高一数学答案 第 2 页 共 6 页 321122coscos()cos()()0 sin22105105CAB
11、ABC ，故最长边为 c，最短边 a，由正弦定理10212102aa，选 A 8：答案：C 解析：223232 2 3607BCCOS ,2221()102OA BAOB CBOC ACABBCAC 9：答案:A 解析：0,2x时，不等式可化为22244xaxxx；令2()4f xxx，则max21()=22 4af x 综上所述，实数 a 的取值范围是1(,)2,选 A 10：答案：B 解析：函数的对称轴只能是2x ，所以有3262 得 332 11：答案：D 详解：由题意知：45CAM，105AMC 所以30ACM 在 Rt ABM中，sinsin15ABABAMAMB，在ACM中，由正弦
12、定理得 sin 30sin 45AMCM 所以sin 45sin 45sin30sin15sin30AMABCM，在 Rt DCM中，sin 45sin 60sin 6030 3sin152315sin3062 14231522ABCDCM，选 D 12：答案：D 解 1：222|2132ababa ba b ，由题设=()1|1=|1a bab cab cab 所以22221|2132a bababa ba b （），得212a b（），所以 2 32 3a b 因此，|=132134 3=2 31aba b，易见等号可以取得，故选 D。解 2：由题设()()0acbc，在矩形 ACBD 中
13、，3,2,1PAPBPC,高一数学答案 第 3 页 共 6 页 根据矩形性质2222PAPBPCPD,可得2 3PD,所以|2 31abABCD，当 P 点在 CD 上等号成立。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13：答案(2,1)解析：函数2651()1142xxxf xx的自变量 x 满足：2650140210 xxxx ，解得6121xxx 即 21x 故答案为：(2,1).14：答案：(0,1)1,4（）解析：将()f x 在 y 轴左侧的图象关于 y 轴对称到右边，与()f x 在 y 轴右侧的图象有且只有一个交点。当01a 时一定满足，当1a 时必须lo
14、g 41a，解得4a 15：答案：23 解析 1：如图，2AOxAByAD，21xy 可知 B、O、D 共线，2cos3A BCADO 解析 2：由题设2219912 cos22AO ABABxAByAB ACxyA ，化简得68 cos3xyA，同理221812 cos162AO ACACxAB ACyACxAy ，得3 cos42xAy，又21xy，所以3 cos20 xAx，又0 x，所以2cos3A。高一数学答案 第 4 页 共 6 页 16.答案：3 解析：211sinsin222SAB ACAABA，所以2241,sinsinABADAA,根据余弦定理222254cos2cos(5
15、4cos)sinABDABADAB ADAA ADA 所以24sin4cos16 sin()5BDAABDA，可得4165BD，解得3BD。三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解析：（1）ABB，AB，7326aa，解得34a，即 a 的取值范围为3,4；（2）可得3U Ax x 或6x，()U AB=，若 B ，则72aa，解得7a ，满足题意；若 B ，则727326aaaa ，不等式无解，综上，a 的取值范围为,7.18：解析：根据题意，设点 P(x,0)，又 A(2,3)，B(6,1)，得 AP(x-2,-3)，BP(x-6,-1
16、)，（1）由 AP BP，即2(2)(6)(3(1)815=0AP BPxxxx ，解得3x 或5x，P 的坐标为(3,0)或(5,0)；（2）由22(2)(6)(3(1)815(4)1AP BPxxxxx 当 x4 时，AP BP 取得最小值-1，此时 AP(2,-3)，BP(-2,-1)，|AP|13，|BP|5，AP与 BP 夹角的余弦值为165|cos6513|5AP BPAPBP .19：解析：（1）由正弦定理可得 2sincossincossincossin()sinBBACCAACB.因为 sin0B 故1cos2B ，又0,B，则3B.（2）由3B，3b，则由正弦定理，有 高一
17、数学答案 第 5 页 共 6 页 224sin2sin4sin2sin3acACCC224 sincoscossin2sin2 3 cos33CCCC 因为ABC为锐角三角形，则 62C，则30cos2C.所以2ac的取值范围为0,3.20：解析：(1)由题意得ABCADCABDSSS，故 111sinsinsin222AC ABBACAC ADDACAD ABBAD，即 111sin120sin60sin60222xyyx ，所以 xyyx(其中05,05xy).(2)设 ACD 区域每平方公里的绿化费用为t (t 为常数)，两区域总费用为 P，则有113sin602sin602224Pxt
18、yttxy，记2uxy，由()可知 xyyx，即 111xy，则 1122223232 23yxyxuxyxyxyxyx y，当且仅当2yxxy，即2 yxxyxyyx，解得21,212,xy 此时等号成立.答：当212x ，12y (单位：公里)时,所需的总费用最少.21：解析：（1）函数2()2sin sincos23f xxxx312sincossincos222xxxx，23sin cossincos2xxxx311sin 2cos2222xx1sin 262x，令222,262kxkkZ，解得,36kxkkZ，因为0,2x，所以函数()f x 的单调递增区间是 0 6,.高一数学答案
19、 第 6 页 共 6 页 因为0,2x，则72,666x，所以1sin 2,162x，所以 minmax30,2f xf x.（2）因为()()g xf xa有且仅有一个零点，所以()f xa有且仅有一个零点，即函数()yf x 与 ya有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a 或 0,1)a，所以实数 a 的取值范围是30,1)2 .22：解析：（I）因为32()f xxaxbxc，0(1)(2)(3)3fff，可得 0184227933abcabcabc ，即为184212793abcabcabcabc ，解得611ab，则32()611f xxxxc，由 0(1)3f，得 016113c ，即 69c，则 2326abc；故abc 的取值范围为23,26 （）因为3211()()xxaxbxcg xf xx存在零点，故设 00g x，显然00 x，因为ca；所以 000200310gaxxxxabx，所以2002001baxxxxa，所以222220000220000211212axabaxxaxxxxaaaax，当且仅当20201xx，001xx即01x 时取等号，又222211 1aaa ，所以21ab 所以2min1ab
