1、第2讲不等式的证明基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1(2013江苏卷改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN2已知xy1，那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)(xy)21，2x23y2，当且仅当2x3y，即x，y时，等号成立答案3若3x4y2，则x2y2的最小值为_，最小值点为_解析由柯西不等式(x2y2)(
2、3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时等号成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案4若a，b均为正实数，且ab，M，N，则M，N的大小关系为_解析ab，2，2，22，.即MN.答案M N5设a，b，c是正实数，且abc9，则的最小值为_解析(abc)()2()2()218.2.的最小值为2.答案26已知a，b，c为正实数，且a2b3c9，则的最大值为_解析 ，故最大值为.答案7(2013陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_解析由柯西不等式(a2b2)(
3、c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.答案28已知x22y23z2，则3x2yz的最小值为_解析(x22y23z2)(3xyz)2(3x2yz)2，当且仅当x3y9z时，等号成立(3x2yz)212，即23x2yz2.当x，y，z时，3x2yz2，最小值为2.答案29已知a，b，c均为正数，且abc1，则的最大值为_解析法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利
4、用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3.当且仅当时，等号成立()max3.答案3二、解答题10设a，b，c为正数，且abc1，求证：9.证明法一a，b，c均为正数，1abc3.又3，1339.即9.法二构造两组数：，；，.因此根据柯西不等式有()2()2()2.即(abc)329.(当且仅当，即abc时取等号)又abc1，所以9.11设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1，0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.12已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.
