1、2015-2016学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1+2iBi1C1iD12i2双曲线25x29y2=225的实轴长，虚轴长、离心率分别是（）A10，6，B6，10，C10，6，D6，10，3若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（）X4a9P0.50.1bA5B6C7D84已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为（）ABCD5设点P是曲线y=x32x2+（4）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为，
2、则的取值范围是（）A，）B（，C0，），）D0，），）6已知服从正态分布N（，2）的随机变量在区间（，+），（2，+2）和（3，+3）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布XN（90，225），则此次成绩在120分以上的学生大约有（）人A46B23C954D3177已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D +18我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，
3、而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A12B18C24D489设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD10某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得3分，答错得3分；选乙题答对得1分，答错得1分若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A24B36C40D4411定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）20，f（0）=3，f（x）是f
4、（x）的导函数，则不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，0）（3，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（3，+）12如图，已知椭圆=1（ab0），过原点的直线与椭圆交于A、B两点，点F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则椭圆离心率e的取值范围为（）A1，B1，C2，D2，二、填空题（每题5分）13设a为双曲线的实半轴长，则（a）6展开式中的常数项等于14设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是15如果P1，P2，Pn是抛物线
5、C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+xn=10，则|P1F|+|P2F|+|PnF|=16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的“拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有“拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称；存在三次函数y=f（x），f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=
6、f（x）的图象的对称中心；存在三次函数的图象不止一个对称中心；若函数g（x）=x3x2，则g（）+g（）+g（）+g（）=1008其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）三、解答题17已知fn（x）=（1+x）n（1）若f2016（x）=a0+a1x+a2x2+a2015x2015+a2016x2016，求a1+a2+a2015+a2016的值；（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数18设函数f（x）=x3x2+2x+a（1）当a=时，求函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程；（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取
7、值范围19已知抛物线C：y2=2px（p0）上的一点M（2，y0）到焦点F的距离等于3（1）求抛物线C的方程；（2）若过点D（3，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求ABF面积的最小值202016年4月15日晚中国诗词大会第一季在中央电视台圆满落幕，冠军由来自华东政法大学的殷怡航获得，为了丰富学生的业余生活，某学校以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级背诵某首诗的正确率为，背诵错误率为，现记“该班完成n首背诵后总得分”为Sn（1）求S6=20的概率；（2）记=|S5|，求的分布列及数学期望21已
8、知椭圆C经过点（1，）和（2，），求（1）椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由22已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x33a2x（a0）（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围；（3）利用（1）的结论，证明不等式（）n+（）n+（）n2015-2016学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1+2i
9、Bi1C1iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z=+i3=i=（i1）i=12i，其共轭复数为1+2i，故选：A2双曲线25x29y2=225的实轴长，虚轴长、离心率分别是（）A10，6，B6，10，C10，6，D6，10，【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c，进而得到实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e=【解答】解：双曲线25x29y2=225即为：=1，可得a=3，b=5，c=，则实轴长为2a=6，虚轴长为2b=10，离心率e=故选：B3若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中
10、a的值为（）X4a9P0.50.1bA5B6C7D8【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】由题意知：0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，从而40.5+0.1a+90.4=6.3，由此能求出a【解答】解：由题意知：0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，EX=6.3，40.5+0.1a+90.4=6.3，解得a=7故选：C4已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】设已知第一次取出的是白球为事件A，第2次也取到黑球为事件B，先求出n（A），n（AB
11、）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可【解答】解：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，则n（A）=C31C91=27，n（AB）=C31C71=21，所以P（B|A）=，故选：D5设点P是曲线y=x32x2+（4）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A，）B（，C0，），）D0，），）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得函数的导数，设出切点P（m，n），可得切线的斜率，配方可得斜率的最小值，由正切函数的图象，即可得到所求范围【解答】解：y=x32x2+（4）x的导数为y=x24x+4=（x2）2，设P（m，n），可得切线的斜率为k=tan=
12、（m2）2，即有tan，可得0，），）故选：D6已知服从正态分布N（，2）的随机变量在区间（，+），（2，+2）和（3，+3）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布XN（90，225），则此次成绩在120分以上的学生大约有（）人A46B23C954D317【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布，求出=90，=15，在区间（60，120）的概率为0.954，由此可求成绩在120分以上的考生人数【解答】解：由题意，=90，=15，在区间（60，120）的概率为0.954成绩在120分以上的概率为（10.95
13、4）=0.023成绩在120分以上的考生人数约为10000.023=23故选：B7已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D +1【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x3）2+（y1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），N与F重合过圆（x3）2+（y1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂
14、线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1=3故选：A8我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A12B18C24D48【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案【解答】解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原
15、理可得总的方法种数为： =24故选C9设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为
16、R=故选C10某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得3分，答错得3分；选乙题答对得1分，答错得1分若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A24B36C40D44【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：两人得3分，余下两人得3分，一人得3分，余下三人得1分，一人得3分，余下三人得1分，一人得3分，一人得3分，一人得1分，一人得1分，两人得1分，余下两人得1分，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得3分，余下两人得3分，
17、有C42=6种情况；（2）一人得3分，余下三人得1分，有4种情况；（3）一人得3分，余下三人得1分，有4种情况；（4）一人得3分，一人得3分，一人得1分，一人得1分，有A43=24种情况；（5）两人得1分，余下两人得1分，有C42=6种情况根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况故选：D11定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）20，f（0）=3，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，0）（3，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（3，+）【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】令F（x）=
18、exf（x）2ex1，从而求导F（x）=ex（f（x）+f（x）2）0，从而由导数求解不等式【解答】解：解：令F（x）=exf（x）2ex1则F（x）=exf（x）+f（x）20，故F（x）是R上的单调增函数，而F（0）=e0f（0）2e01=0，故不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+）故选：B12如图，已知椭圆=1（ab0），过原点的直线与椭圆交于A、B两点，点F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则椭圆离心率e的取值范围为（）A1，B1，C2，D2，【考点】椭圆的简单性质【分析】通过设椭圆的左焦点为F，连接AF、BF构造矩形AFBF，用的三角函
19、数值表示|AF|、|BF|，进而利用离心率公式计算即得结论【解答】解：设椭圆的左焦点为F，连接AF，BF，则四边形AFBF为矩形因此|AB=|FF|=2c，|AF|+|BF|=2a，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，2csin+2ccos=2a，e=，又，+，sin（+），=sin（+），e1，故选：B二、填空题（每题5分）13设a为双曲线的实半轴长，则（a）6展开式中的常数项等于160【考点】二项式定理；双曲线的简单性质【分析】求出a的值，利用二项展开式的通项公式进行求解即可【解答】解：a为双曲线的实半轴长，a=2，则（2）6=6=，（12x）6开式中的x3项为=160x3，则（a
20、）6展开式中的常数项等于160故答案为：16014设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情
21、况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率P1=P（A）=（1）（1）=，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率P2=P（B）=（1）（1）（1）=，故停止射击时甲射击了两次的概率P=P1+P2=+=，故答案为：15如果P1，P2，Pn是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+xn=10，则|P1F|+|P2F|+|PnF|=10+2n【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义得出|P1F|=x1+2，|P2F|=x2+2，|PnF|=xn+2将各式相加即可得出答案【解答】解
22、：抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=2|P1F|=x1+2，|P2F|=x2+2|，|PnF|=xn+2|P1F|+|P2F|+|PnF|=x1+x2+xn+2n=10+2n故答案为：10+2n16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的“拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有“拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称；存在三次函数y=f（x），
23、f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的对称中心；存在三次函数的图象不止一个对称中心；若函数g（x）=x3x2，则g（）+g（）+g（）+g（）=1008其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）【考点】导数的运算；函数的值【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）的对称中心；利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；由函数g（x）的对称中心是（，），得g（x）+（g（1x）=1，由此能求出答案【解答】解：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），f（x
24、）=3ax2+2bx+c，f（x）=6ax+2b，f（x）=6a（）+2b=0，任意三次函数都关于点（，f（）对称，即正确；任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为y=f（x）的对称中心，即正确；任何三次函数都有且只有一个对称中心，故不正确；g（x）=x2x，g（x）=2x1，令g（x）=0，可得x=，g（）=，g（x）=x3x2对称中心为（，），g（x）+g（1x）=1，g（）+g（）+g（）+g（）=11008=1008，故正确故答案为：三、解答题17已知fn（x）=（1+x）n（1）若f2016（x）=a0+a1x+a
25、2x2+a2015x2015+a2016x2016，求a1+a2+a2015+a2016的值；（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数【考点】二项式系数的性质【分析】（1）分别令x=1和x=0，即可求出，（2）根据二项式的通项公式即可求出【解答】解：（1）f2016（x）=（1+x）2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016令x=1，22016=a0+a1+a2+a2016；令x=0，则a0=1，a1+a2+a2015+a2016=220161（2）g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x
26、）8，x6项的系数为：C66+2C76+3C86=1+14+84=9918设函数f（x）=x3x2+2x+a（1）当a=时，求函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程；（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得f（x）的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，由题意可得f（x）的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求a的范围【解答】解：（1）当a=时，f（x）=x3x2+2x，导数f（
27、x）=x23x+2，可得在点（3，f（3）处的切线斜率为k=99+2=2，切点为（3，0），可得函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程为y=2（x3），即为2xy6=0；（2）函数f（x）=x3x2+2x+a的导数为f（x）=x23x+2，当1x2时，f（x）0，f（x）递减；当x2或x1时，f（x）0，f（x）递增可得f（x）在x=1处取得极大值，且为+a；f（x）在x=2处取得极小值，且为+a由方程f（x）=0有三个不等实根，可得+a0，且+a0，解得a则a的取值范围是（，）19已知抛物线C：y2=2px（p0）上的一点M（2，y0）到焦点F的距离等于3（1）求抛物线C的方程
28、；（2）若过点D（3，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求ABF面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据抛物线的定义得出M到准线的距离为3，列方程解出p；（2）设AB方程为x=my+3，与抛物线方程联立方程组得出A，B两点纵坐标的关系，得出ABF的面积关于m的函数，求出最小值即可【解答】解：（1）抛物线的准线方程为x=，M（2，y0）到焦点的距离为2+，p=2抛物线方程为y2=4x（2）设AB的方程为x=my+3联立方程组，得y24my12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=12|y1y2|=SABF=+=|y1|+|y2|=|y1y2|
29、=m=0时，SABF取得最小值4202016年4月15日晚中国诗词大会第一季在中央电视台圆满落幕，冠军由来自华东政法大学的殷怡航获得，为了丰富学生的业余生活，某学校以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级背诵某首诗的正确率为，背诵错误率为，现记“该班完成n首背诵后总得分”为Sn（1）求S6=20的概率；（2）记=|S5|，求的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）S6=20表示正确4首，错误2首，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公
30、式能求出S6=20的概率（2）=|S5|，的可能取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（1）S6=20表示正确4首，错误2首，S6=20的概率p=（2）=|S5|，的可能取值为10，30，50，P（=10）=+=，P（=30）=，P（=50）=（）5+（）5=，的分布列为： 10 30 50 PE=21已知椭圆C经过点（1，）和（2，），求（1）椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将两点坐标代入椭圆的标准方程解
31、方程组得出a，b；（2）设两条直线方程分别为y=kx+1，y=x+1，分别与椭圆方程联立解出P，Q坐标得出直线PQ的方程，即可得出定点坐标【解答】解：（1）设椭圆方程为（a0，b0且ab），解得a2=9，b2=1椭圆方程为：（2）椭圆的上顶点为B（0，1），由题意可知直线BP的斜率存在且不为0设直线BP的方程为y=kx+1，则直线BQ的方程为y=x+1联立方程组，得（1+9k2）x2+18kx=0，P（，），同理可得Q（，）直线PQ的斜率kPQ=，PQ的直线方程为y=（x），即y=x直线PQ过定点（0，）22已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x33a2x（a0）（1）求f
32、（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围；（3）利用（1）的结论，证明不等式（）n+（）n+（）n【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由导数求出函数的单调区间，由单调性求出函数的最大值；（2）由f（x1）g（x2）恒成立，等价于f（x1）maxg（x2）max，通过讨论a的范围，确定g（x）的单调区间，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围；（3）根据lnxx1，（x0），取x=，可得ln1=，累加即可【解答】解：（1）f（x）=lnxx+1，x（0，+），f（x）=，当0x1时，f（x）0，
33、当x1时，f（x）0，f（x）f（1）=0，f（x）的最大值为0；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，依题意地f（x1）maxg（x2）max，其中x1（0，+），x21，2，由（1）知f（x1）max=f（1）=0而g（x）=3（xa）（x+a），（a0），0a1时，x1，2，g（x）0恒成立，g（x）在1，2递增，此时g（x）max=g（2）=86a2，由题意得，0a1；1a2时，x（1，a），g（x）0，x（a，2），g（x）0，g（x）在（1，a）递减，在（a，2）递增，g（x）max=maxg（2），g（1），若g（1）g（2），即13a286a2即a2，此时13a20不合题意；若g（1）g（2）即13a286a2，即a2，1a，由题意得，1a，a2时，x1，2，g（x）0恒成立，g（x）在1，2递减，g（x）max=g（1）=13a20不合题意，综上，a（0，（3）证明：由（1）得：f（x）0，即lnxx1，（x0），取x=，ln1=，nlnkn，即ekn，）n+（）n+（）ne1n+e2n+enn=2016年8月30日
