1、小结与复习 第二章 一元二次方程 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程2.一般形式：ax2 bx c0(a，b，c为常数，a0)要点归纳3.项数和系数：ax2 bx c0(a，b，c为常数，a0)一次项：ax2一次项系数：a二次项：bx 二次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法
2、公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q 0）(x+m)2n（n 0）ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)(x+m)（x+n）0各种一元二次方程的解法及使用类型三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语考点一 一元二次方程的定义 例1
3、若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m1 B.m=1 C.m1 D.m0解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-10,即m1,故选A.A1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .4-20考点讲练针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.例2 若关于
4、x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=.易错提示 求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.-1针对训练 2.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为 .-1【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（2）先求出方程x213x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长考点三 一元二次方程的解法 例
5、3(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x213x+36=0的根，则该三角形的周长为（）A13 B 15 C18 D13或18AA3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16 B.12 C.16或12 D.24A针对训练 4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.1-4-1.abc，公式：，法241.xx移得配法项：，方22-4
6、=-4-41-1=200.bac 2-420425.221bbacxa方程有两个不相等的实数根 1225,25.xx2224212.xx配方,得225x 2=5x由此可得，1225,25.xx考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m2 C.m 0 D.m0,即42-41（-3m)=16+12m0,解得 ,故选A.43m 5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m
7、=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）D0针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x24x30的两根为m，n，则m2mnn225解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.m2mnn2m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3(-3)=25.故填25.【重要变形】22212121 2()2;xxxxx x2212121 2()()4xxxxx x12121211xxxxxx针对训练 7.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7 B.-2 C.D.3232A考点六 一元二次方程的应用
8、例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？市场销售问题解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.单件利润 销售量（件）每星期利润（元）正常销售 涨价销售 432x-2032-2(x-24)150其等量关系是：总利润=单件利润销售量.解：（1）32-(x-24)2=80-2x
9、;（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得 x1=25,x2=35.由题意x28,x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2解得 x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.平均变化率问题几何问题例8 如图
10、1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.图1解析 本题利用图形的变换平移，把零散的图形面积集中化，再建立方程并求解.解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0.解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图2图1 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相
11、等）平移转化 方法总结 8.(易错题）要在一块长52米，宽48米的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案.5248xx图 小亮设计的方案如图所示，甬面宽度均为xm,剩下四块绿地面种共2300m2.小颖设计的方案如图所示，BC=HE=xm,ABCD,HGEF,AB EF,1=60.xxGFHEA D1BC图 5248针对训练 解:(1)根据小亮的设计方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300.解得x1=2,x2=98(不合题意，舍去）.答：小亮设计方案中甬路的宽度为2m；(2)在图2中作AICD,HJEF,垂足分别是为I,J.AB CD,四边形ADCB是
12、平行四边形.由（1）得x=2,AD=BC=HE=2m.在Rt ADI中，ADC=1=60，AD=2m,AI=m,同理HJ=m.小颖设计方案中四块绿地的总面积=52 48-2 52-248+=2299（m2).332(3)xxGFHEA D1BC图 5248JI一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：整式方程；一元；二次.一般形式：ax2+bx+c=0(a0)一元二次方程的解法 直接开平方法配方法公式法224(40)2bbacxbaca 因式分解法根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式：=b2-4ac根与系数的关系1212bxxacxxa 一元二次方程 的 应 用 营 销 问 题、平 均 变 化 率 问 题 几何问题、数字问题 课堂小结
