1、专题检测（二十二） 函数、导数与方程大题专攻强化练1(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围解：(1)证明：设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(
2、x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，02(2019全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f
3、(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得1x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数3(2019东北四市联合体模拟(一)已知函数f(x)aln x(a0)(1)若函数yf(x)图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f(x)的极值点；(2)若关于x的不等式f(x)2有解，求a的取值范围解：f(x)(x0)(1)a0，当时，f(x)取得最大值，2.a0，a4.此时f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增
4、，f(x)的极小值点为x，无极大值点(2)f(x)(x0且a0)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)faaln .关于x的不等式f(x)2有解，aaln 2.a0，ln10.令g(x)ln x1x，则g(x)1，当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(1)0，由ln 10可解得0且1，a的取值范围是.4(2019兰州市诊断考试)已知函数f(x)x2(a2a2)xa2(a2)ln x，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)试判断当a1，1时，函数yf(x)的零点的
5、个数，并说明理由解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x22xln x，f(x)x20，函数yf(x)在其定义域内为增函数，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间(2)当a0，f(x)x22x(x2)22(x0)，由于f(4)0，故函数有且只有一个零点当a1时，由(1)知函数yf(x)在其定义域内为增函数，由于f(e)2e10，f(e2)2e220，故函数有且只有一个零点当1a0或0a1时，a2a20，可得当x(0，a2)时，f(x)0，函数为增函数；当x(a2，a2)时，f(x)0，函数为减函数；当x(a2，)时，f(x)0，函数为增函数当xa2时，函数有极大值f(a2)a2a22(a2a2)2(a2)ln a2a2a22(a2)2(a2)ln a2，当1a0或0a1时，a21，f(a2)0，又f(e3)0，故函数有且只有一个零点综上可知，当a1，1时，函数yf(x)有且只有一个零点
