1、第二节不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立2不等式的证明方法(1)比较法作差比较法知道abab0，abab0，因此要证明ab，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的
2、命题，这种方法称为综合法(3)分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法(4)放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法1a20(aR)2(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，ab，a2b2(ab)2.3a2b2c2abbcca.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，
3、经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设ta2b，sab21，则s与t的大小关系是()AstBstCstDstAstb22b1(b1)20，st.2若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCbcaDcabA“分子”有理化得a，b，c，abc.3已知a，bR，且ab2，则的最小值为()A1B2 C4D8Ba，bR，且ab2，(ab)2224，2，即的最小值
4、为2(当且仅当ab1时，等号成立)4已知正实数a，b满足2abab12，则ab的最小值是()A3B6 C9D12C由2abab12，得2ab212，当且仅当ab时等号成立，化简得(3)(2)0，解得ab9(当且仅当ab3时等号成立)，所以ab的最小值是9.考点1比较法证明不等式1作差比较法证明不等式的四步骤2作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)设a，b是非负实数求证：a2b2(ab)(2)已知a0，b0，证明：aabb(ab).证明(1)因为(a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(a
5、b)(ab)0，所以a2b2(ab)(2)，当ab时，1，当ab0时，1，0，1；当ba0时，01，0，则1.aabb(ab). (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(1)f(x)当x时，由f(x)2，得2x2，解得x1，即1x；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2，得2x2，解得x1，即x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而
6、(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.考点2综合法证明不等式综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且
7、仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.多次使用平均值不等式证明不等式或求函数最值时要注意等号是否能同时成立教师备选例题设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为
8、abcd，所以abcd.由(1)，得.充分性：若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.考点3分析法证明不等式分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是
9、不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式(3)注意恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语设不等式|x1|x1|2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求证：1.解(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2，得1x1，即Ax|1x1(2)证明：要证1，只需证|1abc|abc|，即证1a2b2c2a2b2c2，即证1a2b2c2(1a2b2)，即证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c21，所以(1a2b2)(1c2)
10、0恒成立综上，1.不等式两边都有绝对值号，一般通过两边平方去掉绝对值号已知ab，求证|ab|.证明要证|ab|，只需证：()2(ab)2，即1a221b2a22abb2，化简 1ab，当1ab0时，显然成立，当1ab0时，只需证(1ab)2(1a2)(1b2)，即12aba2b21a2b2a2b2，化简得a2b22ab，即只需证a2b22ab即可，又ab，所以a2b22ab，综上可知，当ab时，|ab|成立考点4放缩法证明不等式 (1)在不等式的证明中，“放”或“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：变换分式的分子和分母，如，上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；利用结论，如“若0ab
11、，m0，则”(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩 (1)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.(2)设n是正整数，求证：1.证明(1)由a0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成立在本例(2)中，为了出现常数，根据项数及不等号的方向，固定分母，达到证明的目的设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，即|f(x)f(a)|2(|a|1)
