1、阶段检测三数列、不等式(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在数列an中,a3=8,an+1=则a5等于()A.12B.14C.20D.222.设等差数列an的前n项和为Sn,若S5=32,则a3=()A.B.2C.4D.3.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.44.公比不为1的等比数列an满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为()A.8B.9C.10D.115.在等差数列an中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a
2、9=()A.30B.27C.24D.216.若实数x,y满足则z=x-2y的最大值是()A.-3B.C.D.-7.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.已知aZ,关于x的一元二次不等式x2-6x+a0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是()A.13B.18C.21D.269.若正项数列an满足a1=2,-3an+1an-4=0,则数列an的通项公式为()A.an=22n-1B.an=2nC.an=22n+1D.an=22n-310.若对任意正数x,不等式恒成立,则实数a的最小值为()A.1B.C.D.1
3、1.设x,y满足约束条件若z=x2+y2,则z的取值范围是()A.B.C.D.12.数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1-an(nN*),若b3=-2,b10=12,则a8=()A.3B.5C.8D.11123456789101112得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=则不等式f(x)-1的解集是.14.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,若S1=2,3-2an+1Sn=,则an=.15.已知点P(x,y)满足条件若z=x+3y的最大值为8,则实数k=.16.若数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,
4、且a1=1,Sn+1+Sn=(nN*),则a25=.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设数列an的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.18.(本小题满分12分)在公差不为零的等差数列an中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前n项和为Sn,数列bn满足bn=,求bn的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)已知各项均不为0的等差数列an的前n项和为
5、Sn,满足S4=2a5,a1a2=a4,数列bn满足bn+1=2bn,b1=2.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=,求数列cn的前n项和Tn.20.(本小题满分12分)设数列an的各项均为正数,且a1,22,a2,24,an,22n,成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和.若Sk30(2k+1),求正整数k的最小值.21.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列an+bn的前n项和Tn.22.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差为d,首
6、项a1=3,前n项和为Sn.令cn=(-1)nSn(nN*),cn的前20项和T20=330.数列bn满足bn=2(a-2)dn-2+2n-1,aR.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn+1bn,nN*,求a的取值范围.阶段检测三数列、不等式一、选择题1.Ca4=a3+2=10,a5=2a4=20.2.A根据等差数列的性质,知S5=5a3,a3=.3.C解法一:由已知得+=,且a0,b0,ab=b+2a2,ab2.解法二:由题设易知a0,b0,=+2,则ab2.选C.4.C由题意,得2a5a6=18,a5a6=9,a1am=a5a6=9,m=5+6-1=10,故选C.5.B根据等差数列的性
7、质得到等差数列的第1,4,7项的和,第2,5,8项的和与第3,6,9项的和成等差数列,所以a3+a6+a9=66-39=27,故选B.6.C二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,观察可知当直线z=x-2y过点C时,z取得最大值,最大值为.故选C.7.C由题意知,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由等差数列的前n项和公式知,Sm=0,解得a1=-2,所以am=-2+(m-1)1=2,解得m=5.8.C设f(x)=x2-6x+a,其图象如图所示.关于x的一元二次不等式x2-6x+a0的解集中有且仅有3个整数,则即解得50,an+
8、1=4an,数列an是以2为首项,4为公比的等比数列,an=24n-1=22n-1.故选A.10.C依题意得a恒成立.因为=x+2=2,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以的最小值为2,所以的最大值是,所以a,故a的最小值是,故选C.11.A根据约束条件画出可行域,如图阴影部分所示,z=x2+y2表示圆心在坐标原点的圆.当此圆与直线x+y=1相切时,z=x2+y2最小,此时原点到直线x+y=1,即x+y-1=0的距离的平方为,当此圆过点A时,z=x2+y2最大,为+=,所以z,即z的取值范围是.12.A设bn的公差为d,b3=-2,b10=12,7d=b10-b3=12-(-2)=14,d=2
9、,b1=b3-2d=-2-4=-6,b1+b2+b7=7b1+d=7(-6)+212=0.又b1+b2+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+(a8-a7)=a8-a1=a8-3,a8-3=0,a8=3.二、填空题13.答案-4,2解析不等式f(x)-1等价于或解得-4x0或00,3Sn+an+10,Sn=an+1,Sn+1=an+2,an+1=an+2-an+1,an+2=2an+1,an从第二项开始构成以2为公比的等比数列,a1=S1=2,322-4a2=,解得a2=2(a2=-6舍去),n2时,an=22n-2=2n-1,an=15.答案-6解析依题意知k0,所以Sn=,所以a25=S2
10、5-S24=-=5-2.三、解答题17.解析(1)当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,得a1=1.当n2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减得an=qan-1,又q(q-1)0,所以an是以1为首项、q为公比的等比数列,故an=qn-1.(2)证明:由(1)可知Sn=,又由题意知S3+S6=2S9,所以+=,化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8,故a2,a8,a5成等差数列.18.解析(1)设等差数列an的公差为d(d0),则依题意有(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d).a1=1,d=1或d=0(舍去),an=a1
11、+(n-1)d=n.(2)由(1)得Sn=,bn=2,Tn=2+=2=.19.解析(1)设an的公差为d,则4a1+6d=2(a1+4d),a1(a1+d)=a1+3d,解得a1=2,d=2.则an=2n.易知bn=2n.(2)由(1)知cn=n2n,则Tn=121+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+n2n+1,两式相减得-Tn=121+122+123+12n-n2n+1,整理得Tn=(n-1)2n+1+2.20.解析(1)设等比数列的公比为q,则q2=22,又由题意知q0,故q=2,从而an=22n-1,即数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由(1)知a1=2,
12、数列an是以22为公比的等比数列,故Sn=(22n-1).因此不等式Sk30(2k+1)可化为(22k-1)30(2k+1),即(2k-1)(2k+1)30(2k+1),因为2k+10,所以2k46,即klog246.又5log2466,所以正整数k的最小值为6.21.解析(1)当n2时,由an=2-3Sn,得an-1=2-3Sn-1,-整理得4an=an-1.当n=1时,a1=2-3a1,故a1=,因而数列an是首项为,公比为的等比数列,其通项公式为an=,nN*.(2)由(1)知an=,故bn=1-2n.数列an+bn的前n项和Tn=a1+b1+a2+b2+an+bn=(a1+an)+(b1+bn)=+=-n2-,nN*.22.解析(1)因为cn=(-1)nSn,所以T20=-S1+S2-S3+S4-+S20=330,则a2+a4+a6+a20=330,即10(3+d)+2d=330,解得d=3,所以an=3+3(n-1)=3n.(2)由(1)知bn=2(a-2)3n-2+2n-1,则bn+1=2(a-2)3n-1+2n,所以bn+1-bn=2(a-2)3n-1+2n-2(a-2)3n-2+2n-1=4(a-2)3n-2+2n-1=43n-2.由bn+1bna-2+0a2-,因为y=2-随着n(nN*)的增大而增大,所以n=1时,取得最小值.所以a,故a的取值范围为.
