1、第四节垂直关系最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 ab2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量二面角
2、的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直3两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面4
3、过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()答案(1)(2)(3)二、教材改编1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么lA两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故A
4、错误选A.2如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有()ASGEFG所在平面BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面DGDSEF所在平面A四面体SEFG如图所示：由SGGE，SGGF.且GEGFG得SGEFG所在的平面故选A.3如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，则二面角VABC的度数为_60如图，取AB的中点D，连接VD，CD.由VAVBACBC知，VDAB，CDAB，从而VDC就是二面角VABC的平面角在
5、VAB和ABC中分别求得VDCD1，因此VDC是等边三角形，故VDC60.4在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心(1)外(2)垂(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，
6、AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心考点1直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理证明直线与平面垂直如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB13，AB1，CBB160.(1)求证：AM平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积解
7、(1)证明：如图，连接B1M，因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AMBC，且AM，因为BB13，CBB160，BM1，所以B1M21232213cos 607，所以B1M.又因为AB1，所以AM2B1M210AB，所以AMB1M.又因为B1MBCM，所以AM平面BCC1B1.(2)设斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则V3VB1ABC3VAB1BC3SB1BC|AM|23sin 60.所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为. (1)已知线段的长度，一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第(1)问(2)解答本例第(2)问时，易误认为B1M是斜三棱柱ABCA
8、1B1C1的高，从而得到错误答案证明空间两条直线垂直(2019成都模拟)如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且ABEF，AF2，EF2AB4AD4，平面ABCD平面ABEF.(1)求证：BEDF；(2)求三棱锥CAEF的体积V.解(1)证明：取EF的中点G，连接AG.EF2AB，ABEG.又ABEG，四边形ABEG为平行四边形，AGBE，且AGBEAF2.在AGF中，GFEF2，AGAF2，AG2AF2GF2，AGAF.四边形ABCD是矩形，ADAB.又平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，AD平面ABEF.又AG平面ABEF，AD
9、AG.ADAFA，AG平面ADF.又AGBE，BE平面ADF.又DF平面ADF，BEDF.(2)连接DE.CDAB，且CD平面ABEF，AB平面ABEF，CD平面ABEF，VCAEFVDAEF.由(1)得，AD平面ABEF，SAEF44，VCAEFVDAEF4.证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直教师备选例题(2017江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因
10、为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CD
11、AE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.考点2面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化 (1)(
12、2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线B取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG，BM.BM
13、EN.BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.(2)(2019青岛模拟)如图，四棱锥PABCD中，PCD为等边三角形，CDAD2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，ABCBCDPEA90，平面STRQ平面ABCDRQ.证明：平面PAE平面STRQ；若AB1，求三棱锥QBCT的体积解证明：因为E为CD的中点，CD2AB，ABCBCD90，所以四边形ABCE为矩形，所以AECD.由已知易得RQCD，所以RQAE.因为PEA90，PECDE，故AE平面PCD，又因为AE平面ABCD.故平面PCD平面ABCD.因为PECD，所以PE平面ABCD.因为RQ平面ABCD，所以RQ
14、PE.又PEAEE，所以RQ平面PAE.所以平面PAE平面STRQ.由可知，PE平面ABCD，又T是PB的中点，点T到平面BCQ的距离为PE，易知SBCQS梯形ABCD(12).故三棱锥QBCT的体积V.解答本例T(2)第(2)问时，借助已知的点面距求高，这是常用的方法，求SBCQ时，可先求底边和高，再求面积(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)证明：由已知可得，BAC90，B
15、AAC.又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin 451.考点3点到平面的距离求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离其步骤为：一作、二证、三求如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的
16、辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解定义法求距离(高) (1)(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPE
17、C中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.(2)(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点证明：PO平面ABC；若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC，OB平面ABC，AC平面ABC，OBACO，知PO平面ABC.作CHOM，垂足为H.又由可得OPCH，OP平面POM，OM平面POM，OPOMO，所以CH平面POM.故
18、CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.解答本例T(2)第问时也可以使用等体积法求解教师备选例题如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，因为APPDP，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD
19、，故ABPE，可得PE平面ABCD，所以PE为四棱锥的高由AB平面PAD，得ABAD，又ABCD，ABCD，则四边形ABCD为矩形设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，解得x2.故四棱锥的高PE，从而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.等体积法求距离(高)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO平面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求三棱柱ABCA
20、1B1C1的高解(1)证明：在矩形ABB1A1中，由平面几何知识可知AB1BD，又CO平面ABB1A1，AB1CO，COBDO，BD，CO平面BCD，AB1平面BCD.因为BC平面BCD，BCAB1.(2)在矩形ABB1A1中，由平面几何知识可知OA，OB，OCOA，OC，AC1，BC，SABC，设三棱柱ABCA1B1C1的高为h，即三棱锥A1ABC的高为h.又SABA1，由VCABA1VA1ABC得SABChSABA1OC，h.解答本例第(2)问的关键是把三棱柱的高转化为求三棱锥的高，再利用等体积法求解教师备选例题如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且BAD60，EAED
21、AB2EF4，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离解(1)证明：取BD中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC中点，所以OMCD且OMCD，由已知EFAB且EFAB，又在菱形ABCD中，ABCD且ABCD，所以EFCD且EFCD.所以OMEF且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，所以EHAD，因为平面ADE平面ABC
22、D，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD.由已知得EH2，BE2，所以等腰三角形BDE的面积为SBDE22.又SBDMSBCD2，设F到平面BDE的距离为h，由VEBDMVMBDE得SBDMEHSBDEh，即22h2，解得h，所以点F到平面BDE的距离为.(2019武汉模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，DAB，平面PAD平面ABCD，PAPD.(1)证明：PBBC；(2)求点A到平面PBC的距离解(1)如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD.底面ABCD是边长为1的菱形，ADAB1，AHAD，由BH2AB2AH22ABAHcosDA
23、B，得BH2121，BH，AH2BH2AB2，BHAD.PAPD，H为AD的中点，PHAD，又PHBHH，AD平面PHB，又PB平面PHB，ADPB，又ADBC, PBBC.(2)法一(定义法)：ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC，点A与点H到平面PBC的距离相等由(1)知AD平面PHB，BC平面PHB，又BC平面PBC，平面PBC平面PHB.过点H作HMPB于M.由平面PHB平面PBCPB，知HM即点H到平面PBC的距离平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PH平面PAD，PHAD，PH平面ABCD，又BH平面ABCD，PHBH.PH，BH，PB，HM.法
24、二(等体积法)：由(1)知，在PAD中，PH，在ABD中，BH，在PHB中，PB.又PBBC，SPBC，设点A到平面PBC的距离为h，则有SPBChSABCPH，即h11sin，解得h.考点4直线与平面所成的角求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 (1)(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8B6C8D8C如图，连接AC1，BC1，AC.
25、AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14.在RtACC1中，CC12，V长方体ABBCCC12228.(2)(2018天津高考)如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90.求证：ADBC；求异面直线BC与MD所成角的余弦值；求直线CD与平面ABD所成角的正弦值解证明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC.如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MNBC.所以D
26、MN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM.因为AD平面ABC，所以ADAC.在RtDAN中，AN1，故DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.如图，连接CM.因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CMAB，CM.又因为平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.在相互垂直的平面内作交线的垂线，是得到线面垂直的常用方法1.已
27、知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是线段CC1的中点，则直线D1E与平面ADE所成角的余弦值为()A.B.C.D.A如图所示，过点D1作D1FDE，垂足为F，而ADD1F，ADDED，故D1F平面ADE，则D1EF为D1E与平面ADE所成的角，不妨设AB2，则D1E，DFDD1cosD1DFDD1sinCDE，EF，故cosD1EF.故选A.2(2019天津高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值解(1)证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD.又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC.又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC.又PA平面PAC，所以DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.(3)连接AN，由(2)中DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形，CD2且N为PC的中点，所以DN.又DNAN，在RtAND中，sinDAN.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
