1、课时作业47直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1若平面平面,直线a平面,点B,则在平面内且过B点的所有直线中(A)A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线解析:因为当直线a平面,点B直线a时,过点B的直线只有一条直线与直线a重合,其他与直线a相交,故选A2(2020福州质检)下列说法中,错误的是(D)A一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线l与平面平行,则过平面内一点和直线l平行的直线在内D若直线l不平行于平面,则在平面内不存在与l平行的直线解析:如果已知直线与另一个平面
2、不相交,则有两种情形:直线在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,即A中说法正确;选项B是两个平面平行的一种判定方法,即B中说法正确;由线面平行的性质定理知C中说法正确;选项D中说法是错误的,事实上,直线l不平行于平面,可能有l,则内有无数条直线与l平行故选D3(2019全国卷)设,为两个平面,则的充要条件是(B)A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C,平行于同一条直线D,垂直于同一平面解析:对于A,内有无数条直线与平行,当这无数条直线互相平行时,与可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直
3、线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确综上可知选B4已知,是三个不重合的平面,l是直线给出下列命题:若l上两点到的距离相等,则l;若l,l,则;若,l,且l,则l.其中正确的命题是(D)ABCD解析:对于,若直线l在平面内,l上有两点到的距离为0,相等,此时l不与平行,所以错误;对于,因为l,所以存在直线m使得lm,因为l,所以m,又m,所以,所以正确;对于,l,故存在m,使得lm,因为,所以m,因为lm,l,所以l,正确故选D5.在如图所示的三棱柱ABCA1B1C1
4、中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是(B)A异面B平行C相交D以上均有可能解析:在三棱柱ABCA1B1C1中,ABA1B1.AB平面ABC,A1B1平面ABC,A1B1平面ABC,又A1B1平面A1B1ED,平面A1B1ED平面ABCDE,DEA1B1,DEAB,故选B6若平面平面,点A,C,B,D,则直线AC直线BD的充要条件是(D)AABCDBADCBCAB与CD相交DA,B,C,D四点共面解析:由平面平面知,直线AC与BD无公共点,则直线AC直线BD的充要条件是A,B,C,D四点共面,故选D7.如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQ
5、R的位置关系是(C)A垂直B相交不垂直C平行D重合解析:如图,分别取另三条棱的中点A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQAL,PRAM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR平面AMBNCL,即平面LMN平面PQR.8已知平面平面,P是,外一点,过点P的直线m与,分别交于点A,C,过点P的直线n与,分别交于点B,D,且PA6,AC9,PD8,则BD的长为(B)A16B24或C14D20解析:设BDx,由ABCDPABPCD.(1)当点P在两平面之间时,如图,则有,x24;(2)当点P在两平面外侧时,如图,则有,x.故选B二、填空题9.如图,四棱锥PABCD的
6、底面是直角梯形,ABCD,BAAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为平行解析:取PD的中点F,连接EF,AF.在PCD中,EFCD且EFCD又ABCD且CD2AB,EF綊AB,四边形ABEF是平行四边形,EBAF.又EB平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD10.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为平行四边形解析:平面ABFE平面DCGH,平面EFGH平面ABFEEF,平面EFGH平面DCGHHG,EFHG.同理,EHFG,四边形EFGH是平行四边形11(2020豫北名校联考)在斜三棱柱ABCA1B1C
7、1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点,若平面BC1D平面AB1D1,则1.解析:如图所示,连接A1B,与AB1交于点O,连接OD1,平面BC1D平面AB1D1,平面BC1D平面A1BC1BC1,平面A1BC1平面AB1D1D1O,BC1D1O,同理AD1DC1,又1,1,即1.12(2020河南安阳检测)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD2,AA11.一平面截该长方体,所得截面为OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,B1S,则AT.解析:设ATx,A1Ty,则xy1.由题意易知该截面六边形的对边分别平行,即OPSR,OTQR,PQTS,则DOPB1SR.又因
8、为DPDO1,所以B1SB1R,所以A1SC1R.由ATOC1QR,可得,所以C1Qx.由A1TSCQP,可得,所以CQy,所以xyxy1,可得x,y,所以AT.三、解答题13如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点求证:(1)EG平面BB1D1D;(2)平面BDF平面B1D1H.证明:(1)如图,取B1D1的中点O,连接GO,OB,因为OG綊B1C1,BE綊B1C1,所以BE綊OG,所以四边形BEGO为平行四边形,故OBEG,因为OB平面BB1D1D,EG平面BB1D1D,所以EG平面BB1D1D(2)由题意可知BDB1D1.连接HB,
9、D1F,因为BH綊D1F,所以四边形HBFD1是平行四边形,故HD1BF.又B1D1HD1D1,BDBFB,所以平面BDF平面B1D1H.14(2020南昌摸底)如图,在四棱锥PABCD中,ABCACD90,BACCAD60,PA平面ABCD,PA2,AB1.设M,N分别为PD,AD的中点(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥PABM的体积解:(1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA,又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB在RtACD中,CAD60,CNAN,ACN60.又BAC60,CNABCN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB又CNMNN,平面CMN平
10、面PAB(2)由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1,ABC90,BAC60,BC,三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.15(2020郑州预测)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形,ABAC,点M,N分别是边AB1,A1C上的动点,若直线MN平面BCC1B1,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹为(C)A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分解析:如图,分别取AA1,B1C的中点E,F,任意作一个与平面BCC1B1平行的平面与AB1,A1C分别交于M,N,则MN平面BCC1
11、B1.由题意知ABC为等腰直角三角形,ABAC,则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形,且这两个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的,因此EF必过MN的中点Q,故点Q的轨迹为线段EF,但需去掉端点F,故选C16.(2020南昌检测)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AC与BD相交于点O,ADBC,ADAB,ABBCAP3,三棱锥PACD的体积为9.(1)求AD的值;(2)过O点的平面平行于平面PAB,平面与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H,求截面EFGH的周长解:(1)因为在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,ADBC,ADAB,ABBCAP3.所以VPACDAP9,解得AD6.(2)因为平面PAB,平面平面ABCDEF,OEF,平面PAB平面ABCDAB,所以EFAB,同理EHBP,FGAP.因为BCAD,AD6,BC3,所以BOCDOA,且,所以,CECB1,BEAF2,同理,所以EHPB.同理,FGPA2.连接HO,则有HOPA,所以HOEO,HO1,过点H作HNEF交FG于N,则GH,所以截面EFGH的周长为325.