1、优培12 数列求和1、裂项相消求和例1:已知公差不为的等差数列中,且,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求适合方程的正整数的值【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意可得,即,解得,则(2),解得2、错位相减求和例2:已知数列的前项和为,等差数列中,且,成等比数列(1)求数列、的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1),;(2)【解析】(1),即,而,数列是以为首项,为公比的等比数列,在等差数列中,又,成等比数列,得,又,故公差,所以,又,(2)由(1)知,得,3、分组求和例3:已知数列,是其前项的和,且满足(1)求证:数列为等比数列;(2)记,求的表达式【答案】(1)
2、证明见解析;(2)【解析】(1),两式相减得,又,数列是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)得,一、解答题1设等差数列的公差为,等比数列的公比为,且,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】(1)因为,所以,依题意可得,故(2)由(1)可知,故2已知等差数列中,且,成等比数列(1)求数列的通项公式及前项和;(2)设,求数列的前项和【答案】(1),;(2)【解析】(1)设等差数列的公差为,且,成等比数列,即,解得或当时,不合题意,舍去,(2),当为偶数时,;当为奇数时,数列的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以为首项,为公比的等比数列,数列的前项的
3、和3已知函数的图像经过点和,(1)求;(2)设数列的前项和为,求的前项和【答案】(1),;(2)【解析】(1)由函数的图象经过点和,得,解得,所以,(2)由(1)知数列为以为首项,为公差的等差数列,所以,得,4在数列中,且(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的前项和【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)的两边同除以,得,又,所以数列是首项为,公差为的等差数列(2)由(1)得,即,故,所以5已知数列中,(1)设,求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】(1),又,即数列是公差为的等差数列,又,(2)由(1)知,6已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(
4、2)设,数列的前项和为,求证:【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)因为,所以,从而,累加可得,所以,因为适合,所以(2),7已知数列前项和为,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】(1)由题知,即,即,数列是首项为,公比为的等比数列,(2)由(1)知,得,8数列是等比数列,公比不为,且,成等差数列(1)设数列的前项和为,求;(2)设,为数列的前项和,求不超过的最大整数【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意得,设的公比为(),则,解得,则,则,两式相减得,(2)由(1)得,令,则,故不超过的最大整数为9已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且,(1)求数列与的通项公式;(2)记,证明:(,)【答案】(1),;(2)证明见解析【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件,得方程组,解得,所以,(2)由(1)得,由,得,即,而当时,所以,