1、优培12 数列求和1、裂项相消求和例1：已知公差不为的等差数列中，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求适合方程的正整数的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，即，解得，则（2），解得2、错位相减求和例2：已知数列的前项和为，等差数列中，且，成等比数列（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】（1），即，而，数列是以为首项，为公比的等比数列，在等差数列中，又，成等比数列，得，又，故公差，所以，又，（2）由（1）知，得，3、分组求和例3：已知数列，是其前项的和，且满足（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求的表达式【答案】（1）
2、证明见解析；（2）【解析】（1），两式相减得，又，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）得，一、解答题1设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，依题意可得，故（2）由（1）可知，故2已知等差数列中，且，成等比数列（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得或当时，不合题意，舍去，（2），当为偶数时，；当为奇数时，数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公比的等比数列，数列的前项的
3、和3已知函数的图像经过点和，（1）求；（2）设数列的前项和为，求的前项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）由函数的图象经过点和，得，解得，所以，（2）由（1）知数列为以为首项，为公差的等差数列，所以，得，4在数列中，且（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）的两边同除以，得，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列（2）由（1）得，即，故，所以5已知数列中，（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），又，即数列是公差为的等差数列，又，（2）由（1）知，6已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（
4、2）设，数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，从而，累加可得，所以，因为适合，所以（2），7已知数列前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知，即，即，数列是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1）知，得，8数列是等比数列，公比不为，且，成等差数列（1）设数列的前项和为，求；（2）设，为数列的前项和，求不超过的最大整数【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，设的公比为（），则，解得，则，则，两式相减得，（2）由（1）得，令，则，故不超过的最大整数为9已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，（1）求数列与的通项公式；（2）记，证明：（，）【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，由条件，得方程组，解得，所以，（2）由（1）得，由，得，即，而当时，所以，
