1、71复数的概念71.1数系的扩充和复数的概念新课程标准解读核心素养1.通过方程的解,了解引进复数的必要性数学抽象2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件逻辑推理数的扩充过程,也可以从方程是否有解的角度来理解:因为类似x43的方程在自然数范围内无解,所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数,使得类似x43的方程在整数范围内有解;因为类似2x5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数,使得类似2x5的方程在有理数范围内有解;因为类似x27的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数,使得类似x27的方程在实数范围内有解问题我们已经知道,类似x21的方程在
2、实数范围内无解那么,能否像前面一样,引入一种新的数,使得这个方程有解并将实数进行扩充呢?知识点一复数的有关概念1复数(1)定义:形如abi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i21复数abi的实部是,虚部是;(2)表示:复数通常用字母z表示,代数形式zabi(a,bR)2复数集(1)定义:全体复数所构成的集合Cabi|a,bR叫做复数集;(2)表示:通常用大写字母表示1复数mni(m,nR)的实部是m,虚部是ni,对吗?提示:不对2复数zabi(a,bR)可以是实数吗?满足什么条件?提示:b0时,复数为实数1复数z25i的实部等于_,虚部等于_答案:252若复数z(2a1)(3a
3、)i(aR)的实部与虚部相等,则a_解析:由题意知2a13a,解得a4.答案:4知识点二复数的分类1对于复数zabi(a,bR)而言:(1)z为实数b0;(2)z为虚数b0;(3)z为纯虚数2集合表示:1在复数12i,0,4i,3i中,不是虚数的为_答案:,02若复数z(m2)(m1)i是纯虚数,则实数m_答案:2知识点三复数相等设a,b,c,d都是实数,那么abicdiac且bd在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,dR,即当a,b,c,dR时,abicdiac且bd.若忽略前提条件,则结论不能成立 已知x,yR,若x3i(y2)i,则xy_解析:由题意知x0,y23,即y5,x
4、y5.答案:5复数的概念例1(1)(多选)下列说法中,错误的是()A复数由实数、虚数、纯虚数构成B若复数z3m2ni,则其实部与虚部分别为3m,2nC在复数zxyi(x,yR)中,若x0,则复数z一定不是纯虚数D若aR,a0,则(a3)i是纯虚数(2)(链接教科书第70页练习1题)分别指出下列复数的实部和虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数5i,2,i,i,i2.(1)解析A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数B错,只有当m,nR时,才能说复数z3m2ni的实部与虚部分别为3m,2n.C正确,复数zxyi(x,yR)为纯虚数的条件是x0且y0,只要x0,则复数z
5、一定不是纯虚数D错,只有当aR,且a3时,(a3)i才是纯虚数答案(1)ABD(2)解5i的实部是5,虚部是.220i,2的实部是2,虚部是0.i的实部是,虚部是1.i0i,i的实部是0,虚部是.i2110i,i2的实部是1,虚部是0.2,i2是实数;5i,i,i是虚数,i是纯虚数复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式:若zabi,只有当a,bR时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b;(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分;(3)如果两个复数都是实数可以比较大小,否则是不能比较大小的;(4)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一
6、个反例即可,所以解答判断命题真假类题目时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答 跟踪训练下列说法中,正确的是()A1ai(aR)是一个复数B形如abi(bR)的数一定是虚数C两个复数一定不能比较大小D若ab,则aibi解析:选A由复数的定义知A正确;当aR,b0时abi(bR)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;ai与bi不能比较大小,故D项错误.复数的分类例2(链接教科书第69页例1)当m为何实数时,复数z(m22m15)i是下列数?(1)虚数;(2)纯虚数解(1)当即m5且m3时,复数z是虚数(2)当即m3或2时,复数z是纯虚数母题探
7、究1(变设问)本例中条件不变,当m为何值时,复数z为实数?解:当即m5时,复数z是实数2(变设问)本例中条件不变,当m为何值时,z0.解:因为z0,所以z为实数,需满足解得m5.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为abi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部;(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可;(3)下结论:设所给复数为zabi(a,bR):z为实数b0;z为虚数b0;z为纯虚数a0且b0. 跟踪训练实数m取什么值时,复数z(m22m)i是下列数?(1)实数;(
8、2)虚数;(3)纯虚数解:(1)当即m2时,复数z是实数(2)当即m0且m2时,复数z是虚数(3)当即m3时,复数z是纯虚数两个复数相等例3(1)(链接教科书第70页练习3题)已知(m27m10)(m25m14)i0,求实数m的值;(2)已知xyxyi24i5,其中x,yR,求x,y的值解(1)由已知得解得m2.(2)因为x,yR,所以xyR,xyR,依题意,得解得或复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解;(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现 跟踪训练已知i
9、是虚数单位,若(35i)x(2i)y172i,x,yR,则xy()A6B7C8 D7解析:选C由(35i)x(2i)y172i,可得(3x2y)(5xy)i172i,所以解得则xy8.故选C.1复数(2)i的实部是()A2 B.C2 D0解析:选D复数(2)i的实部是0,故选D.2“a2”是“复数z(a24)(a1)i(a,bR)为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选Aa2时,z(224)(21)ii是纯虚数;z为纯虚数时,a240,且a10,即a2.“a2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立故选A.3已知i为虚数单位,集合M1,m23m1(m25m6)i,N1,3,MN1,3,则实数m的值为()A4 B1C4或1 D1或6解析:选B由题意得解得m1.4已知x2y26(xy2)i0,求实数x,y的值解:由复数相等的条件得方程组由得xy2,代入得y22y10.解得y11,y21.所以x1y121,x2y221.即或