1、71复数的概念71.1数系的扩充和复数的概念新课程标准解读核心素养1.通过方程的解，了解引进复数的必要性数学抽象2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件逻辑推理数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似x43的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x43的方程在整数范围内有解；因为类似2x5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x5的方程在有理数范围内有解；因为类似x27的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x27的方程在实数范围内有解问题我们已经知道，类似x21的方程在
2、实数范围内无解那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？知识点一复数的有关概念1复数(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21复数abi的实部是，虚部是；(2)表示：复数通常用字母z表示，代数形式zabi(a，bR)2复数集(1)定义：全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集；(2)表示：通常用大写字母表示1复数mni(m，nR)的实部是m，虚部是ni，对吗？提示：不对2复数zabi(a，bR)可以是实数吗？满足什么条件？提示：b0时，复数为实数1复数z25i的实部等于_，虚部等于_答案：252若复数z(2a1)(3a
3、)i(aR)的实部与虚部相等，则a_解析：由题意知2a13a，解得a4.答案：4知识点二复数的分类1对于复数zabi(a，bR)而言：(1)z为实数b0；(2)z为虚数b0；(3)z为纯虚数2集合表示：1在复数12i，0，4i，3i中，不是虚数的为_答案：，02若复数z(m2)(m1)i是纯虚数，则实数m_答案：2知识点三复数相等设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立 已知x，yR，若x3i(y2)i，则xy_解析：由题意知x0，y23，即y5，x
4、y5.答案：5复数的概念例1(1)(多选)下列说法中，错误的是()A复数由实数、虚数、纯虚数构成B若复数z3m2ni，则其实部与虚部分别为3m，2nC在复数zxyi(x，yR)中，若x0，则复数z一定不是纯虚数D若aR，a0，则(a3)i是纯虚数(2)(链接教科书第70页练习1题)分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数5i，2，i，i，i2.(1)解析A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数B错，只有当m，nR时，才能说复数z3m2ni的实部与虚部分别为3m，2n.C正确，复数zxyi(x，yR)为纯虚数的条件是x0且y0，只要x0，则复数z
5、一定不是纯虚数D错，只有当aR，且a3时，(a3)i才是纯虚数答案(1)ABD(2)解5i的实部是5，虚部是.220i，2的实部是2，虚部是0.i的实部是，虚部是1.i0i，i的实部是0，虚部是.i2110i，i2的实部是1，虚部是0.2，i2是实数；5i，i，i是虚数，i是纯虚数复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；(3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的；(4)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一
6、个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答 跟踪训练下列说法中，正确的是()A1ai(aR)是一个复数B形如abi(bR)的数一定是虚数C两个复数一定不能比较大小D若ab，则aibi解析：选A由复数的定义知A正确；当aR，b0时abi(bR)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；ai与bi不能比较大小，故D项错误.复数的分类例2(链接教科书第69页例1)当m为何实数时，复数z(m22m15)i是下列数？(1)虚数；(2)纯虚数解(1)当即m5且m3时，复数z是虚数(2)当即m3或2时，复数z是纯虚数母题探
7、究1(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？解：当即m5时，复数z是实数2(变设问)本例中条件不变，当m为何值时，z0.解：因为z0，所以z为实数，需满足解得m5.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部；(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)：z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0. 跟踪训练实数m取什么值时，复数z(m22m)i是下列数？(1)实数；(
8、2)虚数；(3)纯虚数解：(1)当即m2时，复数z是实数(2)当即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数两个复数相等例3(1)(链接教科书第70页练习3题)已知(m27m10)(m25m14)i0，求实数m的值；(2)已知xyxyi24i5，其中x，yR，求x，y的值解(1)由已知得解得m2.(2)因为x，yR，所以xyR，xyR，依题意，得解得或复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现 跟踪训练已知i
9、是虚数单位，若(35i)x(2i)y172i，x，yR，则xy()A6B7C8 D7解析：选C由(35i)x(2i)y172i，可得(3x2y)(5xy)i172i，所以解得则xy8.故选C.1复数(2)i的实部是()A2 B.C2 D0解析：选D复数(2)i的实部是0，故选D.2“a2”是“复数z(a24)(a1)i(a，bR)为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Aa2时，z(224)(21)ii是纯虚数；z为纯虚数时，a240，且a10，即a2.“a2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立故选A.3已知i为虚数单位，集合M1，m23m1(m25m6)i，N1，3，MN1，3，则实数m的值为()A4 B1C4或1 D1或6解析：选B由题意得解得m1.4已知x2y26(xy2)i0，求实数x，y的值解：由复数相等的条件得方程组由得xy2，代入得y22y10.解得y11，y21.所以x1y121，x2y221.即或