1、2016年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知i为虚数单位，则i2016=（）A1B1CiDi2已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，4，5，B=1，3，5，则（UA）B=（）A1B3C1，3，5，6D1，33已知A与B是两个事件，P（B）=，P（AB）=，则P（A|B）=（）ABCD4函数f（x）=的定义域为（）A（，1B1，+）C（，1D（，+）5已知实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为3，则实数a的值为（）A1B2C1D6设D为ABC所在平面内一点， =+，若=（R），则=（）A2B3C2D37函数f（x）=2cos（2
2、x+）sinsin2（x+）（为常数，且，kZ）图象的一个对称中心的坐标为（）A（，0）B（0，0）C（，0）D（，0）8函数y=的图象大致为（）ABCD9执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（）A1B4CD10若函数f（x）=|x|+（a0）没有零点，则a的取值范围是（）AB（2，+）CD（0，1）（2，+）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11若“x，mtanx+1”为真命题，则实数m的最大值为_12若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为1，则实数a的值为_13从2名语文老师，2名数学老师，4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都
3、至少有一人的选派方法种数为_（用数字作答）14圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体的体积为_15在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：=1的渐近线与椭圆C2： +=1（ab0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的离心率为_三、解答题（共6小题，满分75分）16如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=2，BA=3，AD=，C=45（1）求B的大小；（2）求ABD的面积及边AC的长17一次测试中，为了了解学生的学习情况，从
4、中抽取了n个学生的成绩（满分为100分）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，设X表示所抽取的3名同学中得分在80，90）内的学生个数，求X的数学期望及方差18如图，在四棱锥ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=120，AB=AA1=2，ACBD=O，E、F分别是线段A1D、B
5、C1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1=AG（1）证明：GB平面DEF；（2）求直线GD与平面DEF所成角的正弦值19数列an满足a1=1，a2=，anan+1是公比为的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=3a2n+2n7，Sn是数列bn的前n项和，求Sn以及Sn的最小值20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F在直线2x+y2=0上（1）求抛物线C的方程；（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设=，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：PAB的面积是否存在最小值？若存
6、在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=x1a（x1）2lnx（aR）（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k（1，2），使得当x（0，k时，f（x）的值域是f（k），+），求a的取值范围注：自然对数的底数e=2.718282016年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知i为虚数单位，则i2016=（）A1B1CiDi【考点】虚数单位i及其性质【分析】利用i4=1，即可得出【解答】解：i4=
7、1，i2016=i4504=1，故选：A2已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，4，5，B=1，3，5，则（UA）B=（）A1B3C1，3，5，6D1，3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，4，5，UA=1，3，6，B=1，3，5，则（UA）B=1，3，5，6故选：C3已知A与B是两个事件，P（B）=，P（AB）=，则P（A|B）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】由条件概率的计算公式，代入数据计算可得答案【解答】解：由条件概率的计算公式，可得P（B|A）=故选：D4
8、函数f（x）=的定义域为（）A（，1B1，+）C（，1D（，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即02x11，即12x2，解得x1，故函数的定义域是（，1，故选：C5已知实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为3，则实数a的值为（）A1B2C1D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到a的值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线y=2x+z经过点A时直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，
9、为2x+y=16由，解得，即A（2，1），此时点A在x+y=a，即21=a，解得a=1，故选：A6设D为ABC所在平面内一点， =+，若=（R），则=（）A2B3C2D3【考点】平行向量与共线向量【分析】D为ABC所在平面内一点， =+，可得B，C，D三点共线若=（R），可得=，化简与=+比较，即可得出【解答】解：D为ABC所在平面内一点， =+，B，C，D三点共线若=（R），=，化为： =+，与=+比较，可得： =， =，解得=3则=3故选：D7函数f（x）=2cos（2x+）sinsin2（x+）（为常数，且，kZ）图象的一个对称中心的坐标为（）A（，0）B（0，0）C（，0）D（，0）【
10、考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x，由奇函数的对称性结合选项可得【解答】解：由三角函数公式化简可得：f（x）=2cos（2x+）sinsin2（x+）=2cos（2x+）sinsin（2x+）+=2cos（2x+）sinsin（2x+）coscos（2x+）sin=cos（2x+）sinsin（2x+）cos=sin（2x）=2sin2x，满足f（x）=f（x）即函数为奇函数，图象关于原点对称故选：B8函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势，即可判断【解答】解：f（x）=f（x），y=
11、为奇函数，图象关于原点对称，当x+时，y0，当0x时，y0，故选：A9执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（）A1B4CD【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得S=1，k=1满足条件k2016，S=4，k=2满足条件k2016，S=，k=3满足条件k2016，S=，k=4满足条件k2016，S=1，k=5观察规律可知，S的取值周期为4，由2016=5044，可知满足条件k2016，S=，k=2015满足条件k2016，S=，k=2016不满足条件k2016，退出循环，输出
12、S的值为故选：D10若函数f（x）=|x|+（a0）没有零点，则a的取值范围是（）AB（2，+）CD（0，1）（2，+）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】根据函数f（x）没有零点，等价为函数y=与y=|x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围【解答】解：令|x|+=0得=|x|，令y=，则x2+y2=a，表示半径为，圆心在原点的圆的上半部分，y=|x|，表示以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径，a的取值范围为（0，1）（2，+）故选：D二、填空题（共5
13、小题，每小题5分，满分25分）11若“x，mtanx+1”为真命题，则实数m的最大值为0【考点】全称命题【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围【解答】解：“x，mtanx+1”为真命题，可得1tanx1，0tanx+12，实数m的最大值为：0故答案为：012若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为1，则实数a的值为0或2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】函数f（x）=|x+1|+|x+a|的几何意义是点x与点1的距离及点x与点a的距离之和，从而解得【解答】解：函数f（x）=|x+1|+|x+a|的几何意义是：点x与点1的距离及点x与点a的距离之和，故函数f（x）=|x+1|
14、+|x+a|的最小值为|1+a|=1，故a=0或2，故答案为：0或213从2名语文老师，2名数学老师，4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为44（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，按4种情况讨论，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，按4种情况讨论：、2名语文老师，2名数学老师，1名英语老师，有C41=4种，、1名语文老师，2名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，、2名语文老师，1名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，1名语文老师，1名数学
15、老师，3名英语老师，有C21C21C43=16种，则一共有4+12+12+16=44种选派方法，故答案为：4414圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，且球的半径是1，圆锥的底面半径是1，高为2，几何体的体积V=，故答案为：15在平面直角坐标系xO
16、y中，双曲线C1：=1的渐近线与椭圆C2： +=1（ab0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由双曲线C1：=1，可得渐近线为y=x，与椭圆方程联立解得A，利用两点之间的距离公式可得： =a，解得利用双曲线C1的离心率=即可得出【解答】解：由双曲线C1：=1，可得渐近线为y=x，联立，解得A，则=a，化为：b24ab+a2=0，解得=2双曲线C1的离心率=故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）16如图，在ABC中，点D在边BC上，BD=2，BA=3，AD=，C=45（1）求B的大小；（2）求AB
17、D的面积及边AC的长【考点】余弦定理的应用【分析】（1）直接利用余弦定理化简求解即可（2）利用三角形的面积以及正弦定理求解即可【解答】解：（1）在ABD中，由余弦定理，得=又0B180，所以B=60（2）在ABC中，由正弦定理，得，即解得17一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩（满分为100分）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分
18、）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，设X表示所抽取的3名同学中得分在80，90）内的学生个数，求X的数学期望及方差【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用频率分布直方图，结合频率=，能求出样本容量n和频率分布直方图中x、y的值（2）由题意，分数在80，90）内的有4人，分数在90，100内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人从而抽取的3名同学中得分在80，90）的学生人数X的所有可能的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望及方差【解答】解：（1）由题意可知，样本容量，（1）注：（1）中的每一列式与计算结果均为（2）由题
19、意，分数在80，90）内的有4人，分数在90，100内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人从而抽取的3名同学中得分在80，90）的学生人数X的所有可能的取值为1，2，3，所以，18如图，在四棱锥ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=120，AB=AA1=2，ACBD=O，E、F分别是线段A1D、BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1=AG（1）证明：GB平面DEF；（2）求直线GD与平面DEF所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间直角坐标系，根据各数量关
20、系求出和平面DEF的法向量的坐标，只需证明即可得出GB平面DEF；（2）求出，计算cos，于是直线GD与平面DEF所成角的正弦值等于|cos|【解答】证明：（1）以O为坐标原点，分别以为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标Oxyz在菱形ABCD中，AB=AD=BC=2，ABC=120，BD=2，O为AC和BD的中点又AA1平面ABCD，AA1=2B（1，0，0），D（1，0，0），D1（1，0，2）E、F分别是线段A1D、BC1的中点，于是，设平面DEF的一个法向量=（x，y，z）则，令y=1，得，=（，1，）=0，又GB平面DEF，GB平面DEF（2）=，=2，|=2，|=cos=直线GD与
21、平面BEF所成的角的正弦值为|cos|=19数列an满足a1=1，a2=，anan+1是公比为的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=3a2n+2n7，Sn是数列bn的前n项和，求Sn以及Sn的最小值【考点】数列递推式；数列与函数的综合【分析】（1）可求得；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式；（2）化简，从而利用拆项求和法求Sn，讨论其单调性从而求最小值【解答】解：（1）anan+1是公比为的等比数列，即；a1，a3，a5，a7，a2k1，是公比为的等比数列；a2，a4，a6，a8，a2k，是公比为的等比数列当n为奇数时，设n=2k1（kN*），=；当n为偶数时，设n=2k
22、（kN*），=；综上，（2）Sn=b1+b2+b3+bn=即当n3时，（n3）26和都是关于n的增函数，当n3时，Sn是关于n的增函数，即S3S4S5，S1S2S3；20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F在直线2x+y2=0上（1）求抛物线C的方程；（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设=，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【分析】（1）抛物线C
23、的焦点在x轴上，求出p=2由此能求出抛物线C的方程（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设设切线BP的方程为由，得：ky24ykt2+4t=0，由此利用根的判别式、切线方程，结合已知条件能证明为定值（3）设直线FP的方程为x=my+1，由，得：，由此利用韦达定理、弦长公式得到SPAB=，令，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t0时的最小值即可利用导数性质能求出结果【解答】解：（1）由题意，抛物线C的焦点在x轴上在方程2x+y2=0中，令y=0，得x=1于是，解得p=2所以，抛物线C的方程为y2=4x证明：（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设 设切线BP的斜率为k，则切线
24、BP的方程为由，消去x并整理得：ky24ykt2+4t=0由k0，考虑到判别式=164k（kt2+4t）=0可得4（kt2）2=0所以kt2=0故切线BP的斜率切线BP的方程为，即在中，令x=0，得所以点E的坐标为；在中，令y=0，得所以点B的坐标为所以，所以故，为定值解：（3）由直线FP过点F（1，0），设直线FP的方程为x=my+1由，消去x得：由韦达定理，得yAyP=4所以于是=令，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t0时的最小值即可当t0时，当时，f（t）0，f（t）为减函数；当时，f（t）0，f（t）为增函数所以，当t0时，函数f（t）在时取最小值因为f（t）为偶函数，当t0
25、时，函数f（t）在时取最小值当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为综上，PAB的面积存在最小值，此时点P的坐标为或21已知函数f（x）=x1a（x1）2lnx（aR）（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k（1，2），使得当x（0，k时，f（x）的值域是f（k），+），求a的取值范围注：自然对数的底数e=2.71828【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，
26、解出验算即可；（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+）当a=0时，f（x）00x1； f（x）0x1所以，函数f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）（2）g（x）=a（x1）2lnx，则令h（x）=2ax22ax+1（x0），若函数g（x）有两个极值点，则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，于是解得a2当a2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1x2，则当0xx1时，h（x）0，g（x）0，g（x）g（x）0在（0，x1）上为减函数；当x1xx
27、2时，h（x）0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；当xx2时，h（x）0，g（x）0，函数g（x）在（x2，+）上为减函数由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点符合题意综上，所求实数a的取值范围是（2，+）（3）当a0时，当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上为减函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上为增函数所以，当x（0，k（1k2）时，f（x）min=f（1）=0f（k），f（x）的值域是0，+）不符合题意当a0时，（ i）当，即时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x1（1，+）f（x）0+0f（x）减函数极小值增函数
28、极大值减函数若满足题意，只需满足，即整理得令，当时，所以F（a）在上为增函数，所以，当时，可见，当时，恒成立故若，当x（0，k（1k2）时，函数f（x）的值域是f（k），+）所以满足题意（ ii）当，即时，当且仅当x=1时取等号所以f（x）在（0，+）上为减函数从而f（x）在（0，k上为减函数符合题意（ iii）当，即时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1f（x）0+0f（x）减函数极小值0增函数极大值减函数若满足题意，只需满足f（2）f（1），且（若，不符合题意），即a1ln2，且又，所以a1ln2此时，综上，a1ln2所以实数a的取值范围是（1ln2，+）2016年9月18日
