1、3 频率与概率 最新课标 结合实例，会用频率估计概率理解概率的性质.教材要点要点 概率的定义在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作_显然，_P(A)_.我们通常用频率来估计概率稳定性P(A)01状元随笔 正确理解频率与概率之间的关系随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小我们给这个常数取一个名字，叫作这个随机事件的概率概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发
2、生的可能性的大小频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率教材答疑1教材P207思考交流观察表发现该运动员投篮命中的频率都在0.5左右摆动2教材P208思考交流(1)随机事件A发生的概率P(A)是一个常数，这个常数是用来度量事件发生可能性大小的任何事件的概率是01之间的一个确定的数，小概率事件很少发生，而大概率事件则经常发生，知道随机事件的概率有利于我们作出正确的决策(2)频率与概率的区别和联系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近；频率本身是随机的，在试验前不能确定；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画
3、“”)(1)某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)在相同环境下，两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的()(4)计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，因此估计的概率不可信()2已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A合格产品少于9件 B合格产品多于9件C合格产品正好是9件 D合格产品可能是9件解析：根据概率意义知选D.答案：D3某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的()A概率为45 B频率为45C频率为8 D概率接近于8解析：做n次随机试验，事件A发
4、生了m次，则事件A发生的频率为mn.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率故 81045为事件A的频率答案：B4已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了_次试验解析：设共进行了n次试验，则10n 0.02，解得n500.答案：500题型一 频率与概率之间的区别与联系自主完成1下列说法中正确的是()A任何事件的概率总是在(0,1)之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定解析：任何事件的概率总是在0,1之间，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是
5、0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的一般来说，当试验的次数不同时，频率是不同的，它与试验次数有关，故B错误当试验次数增多时，频率呈现出一定的规律性，频率值越来越接近于某个常数，这个常数就是概率，故C正确虽然在试验前不知道概率的确切值，但概率是一个确定的值，它不是随机的通过多次试验，不难发现它是频率的稳定值，故D错误答案：C2一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11 000C.9991 000 D.12解析：第999次出现的结果和其他试验的结果无关，故所求概率
6、是12.答案：D3某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明()A该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品D该厂生产的产品合格的可能性是99.99%解析：合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率答案：D方法归纳 利用概率的稳定性解题的三个关注点(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在
7、一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件题型二 用频率估计概率师生共研例1 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上4380分89分18270分79分26060分69分9050分59分6250分以下8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)(1)90分以上；(2)60分69分；(3)6
8、0分以上解析：总人数为4318226090628645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645 0.067，182645 0.282，260645 0.403，906450.140，626450.096，86450.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)将“90分以上”记为事件A，则P(A)0.067；(2)将“60分69分”记为事件B，则P(B)0.140；(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)0.0670.2820.4030.1400.892.方法归纳随机事件在一次试验中是否发生虽然不能
9、事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率跟踪训练1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率mn(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解析：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.题型三 概率的实际应用微点探究微点1 游戏的公平
10、性的判断例2 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解析：(1)分别用2,3,4,4表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种
11、不同的情况(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是23.(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为 512，乙胜的概率为712.因为 512 712，所以此游戏不公平方法归纳游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同若相同，则规则公平，否则就是不公平的(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较微点2 天气预报中的概率问题例3 某城市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概
12、率为90%”，这是指()A明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水B明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水C气象台的专家中，90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D明天该地区降水的可能性为90%解析：“明天降水的概率为90%”指“明天降水”这一事件发生的可能性为90%，而非其他含义故选D.答案：D状元随笔 天气预报中的概率不可能通过做大量相同的重复试验得到，属于主观概率解决此类问题，我们需要分清主观概率与客观概率，客观概率是客观存在的，不会因判断者意识的改变而改变，而主观概率对于不同的判断者而言，会有不同的结果，并且概率只能说明事情发生的可能性的大小，并不是一个绝对的量跟踪训练
13、2 如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？解析：列表如下：BA 3456145672567836789由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种因此，甲获胜的概率为 31214，乙获胜的概率为 91234，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平易错辨析 混淆频率与概率的关系出错例4 把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为_解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.答案：0.5【易错警示】易错原因纠错心得 解本题时，很容易由fn(A)nAn 4961 000 0.496，得掷一次硬币正面朝上的概率是0.496.导致以上错误的原因是混淆了概率与频率的概念，事实上频率是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.496是1 000次试验中硬币正面向上的频率，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关.随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并且趋于稳定，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关.
