1、广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三数学上学期四校联考（2月）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
2、答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（*）A B C D 2复数在复平面内对应的点位于（*）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3已知直线，和平面，且，则是的（*）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要第4题图4为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从， ， 这三个
3、区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（*）ABCD5已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（*）A B C D6雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离第6题图（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，等效取8490km，故远大于假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（*）（参考数据：）A6400mB7200mC8100mD 10
4、000m7已知抛物线的焦点为，点是抛物线C上位于第一象限内的一点，为线段的中点，垂直轴于点，若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为（*）ABCD 8已知点是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（*）ABCD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分9已知定义在上的函数对任意实数满足，且时，则下列说法中，正确的是（*）A是的周期 B不是图象的对称轴C D方程只有4个实根10已知实数，则下列说法中，正确的是（*）A B C D存在，使得直线与圆相切11
5、点C，D是平面内的两个定点，点在平面的同一侧，且若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（*）A点A在空间中的运动轨迹是一个圆 B面积的最小值为2C四面体ABCD体积的最大值为D当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为12已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（*）A. 在是增函数 B. 是奇函数C. 在上有两个极值点D. 设，则满足的正整数的最小值是2第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上
6、表可得回归方程 ，根据最小二乘法计算可得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_*_万元14的展开式中，的系数是_*_15已知双曲线的左焦点为，为双曲线上一点，与双曲线的渐近线平行，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率_*_16已知数列的前n项和，则数列的通项公式为_*_，则的最大值为_*_四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知正项数列满足，等比数列满足：（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求18（本小题满分12分）已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个 函数的最大值是； 函数的图象可由函数左右平移得到； 函数的对称中
7、心与的对称轴之间的最短距离是；（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；（2）已知的内角、所对的边分别为、，满足，点为的中点，且，求的值19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，.第19题图（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1
8、个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收假设拟购进的这批原料，合格率为p（），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由21（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线：与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于
9、C,D两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值22（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若且，证明：，；（3）记方程的三个实根为，若，证明：华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数 学 参 考 答 案一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA第8题提示：将变形为，然后研究图象即可.二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD第10题C选项解析：令，因为，故关于对称，故只需研究的情况即可. 令，则. 易知在上单调递减.因为，所以存在，使得，且时，单调递增，时，单调递减.因为时，且，故，.所以当时，单调递增， 所以.第12题提示：，显
10、然不是极值点.当时，.绘制函数的草图可知，此时仅有一个根，且. 故C选项错误.由上述分析可知时，函数单调递增，时，函数单调递减.当时，显然.当时，. 的几何意义为点与坐标原点连线的斜率. 因为，故只需比较的大小即可. . 故D正确.三、填空题： 13、85 14、 15、 16、； 17解：（1）各项为正，且，.是公差，首项的等差数列. 2分，则. 3分设等比数列的公比为，则.故，解得. 故. 5分（2）. . 6分：. 8分. 10分18解：（1）函数只能同时满足 . 2分由知，由知,则.故. 4分 由,解得，. 所以的单调递增区间为，. 6分 （2）. 8分 （此处若未结合角B 的范围，直
11、接写出B的值，扣1分.）法一：作线段的中点,因为，故因为， 即. 10分由正弦定理知 12分法二：分别在中对角B运用余弦定理，可得边长a,c的关系，略.19（1）证明：连接., 为的中点, , . 2分, 为的中点, , . 4分, . 平面. 6分zyx（2）以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则, , .则, . 7分设平面的法向量，则.令则. 9分易证平面,故取平面的法向量. 10分因为二面角的平面角为锐角，所以 12分20解：（1）X可能的取值为 1分, 3分故X的分布列为: X50100P4分（2）方案一通过检验的概率为. 6分方案二通过检验的
12、概率为 8分，其中.令，则. 10分 故在上单调递增，.故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高12分21解：（1）由题：，故抛物线的方程为1分抛物线的焦点为，故.又因为椭圆离心率为，即.解得.椭圆的方程为. 3分（2）因为的内切圆圆心始终在直线上，即平分.设直线的斜率分别为因为垂直于x轴，故 4分设，则.， ，即. 5分，即. 6分将直线与联立，可得，由题，故 7分将直线与联立，可得，由题，故，故 8分设，则 则 9分坐标原点O到直线l的距离为，故的面积 .10分，故当时， 12分22解：（1）， 1分 或， .的单调递增区间为,，单调递减区间为. 3分（2）
13、令，则. .故在单调递增，在上单调递减. 故，即. 4分欲证：，即证：，.令，则.因为，故.所以，在上单调递增. . 故欲证，只需证. 6分， ，即因为，故. 故等价于证明：. 7分令，则，在上单调递增.故即. 从而结论得证. 8分（3）法一：令，则由（1）可知，在,上单调递增，在上单调递减.由题易知.，故.因为，故存在，使得，由（2）可知，故， 10分令，则，易知在上单调递减，在上单调递增.记的两个零点为，易知.故，因为在上单调递减，在上单调递增.所以，所以. 12分法二：（切线放缩）略解.令，则研究函数在点处的切线以及在点处的切线,然后证明当时，以及.切线与x轴的交点为；切线与x轴的交点为，故.
