1、第三节二项式定理命题分析预测学科核心素养本节是高考的重点，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等本节主要考查学生的数学运算核心素养和转化与化归思想的应用授课提示：对应学生用书第209页知识点一二项式定理1二项式定理（1）定理：公式（ab）nCanCan1bCankbkCbn（nN*）叫做二项式定理（2）通项：Tk1Cankbk为展开式的第 k1项2二项式系数与项的系数（1）二项式系数：二项展开式中各项的系数C（k）叫做二项式系数（2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不
2、同的概念 温馨提醒 1二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k1项2易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C（k0，1，n）1的展开式中x2的系数等于（）A45B20C30 D90解析：因为展开式的通项为Tr1（1）rCxx（10r）（1）rCx10r，令10r2，得r8，所以展开式中x2的系数为（1）8C45答案：A2若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为解析：二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20答案：20知识点二二项式系数的性质1
3、二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性当k时，二项式系数逐渐增大；当k时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn2各二项式系数的和（ab）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n11（2021福州模拟）设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（）A112 B112C60 D60解析：依题意得，n8，所以展开式的
4、通项Tr1Cx8rCx84r（2）r，令84r0，解得r2，所以展开式中的常数项为T3C（2）2112答案：B2已知（12x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（12x）n（1x）的展开式中含x2项的系数为（）A71 B70C21 D49解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n1，所以2n164，n7，因此（12x）n（1x）的展开式中含x2项的系数为C（2）2C（2）70答案：B3若（x1）4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为_解析：令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加除以2得a0a2a48答案：8授课提示：对应学生用书
5、第210页题型一二项展开式中的特定项或系数1（2021重庆巴蜀中学二诊）二项式的展开式中的常数项是（）A45B10C45 D65解析：由二项式定理得Tr1C（x2）rC（1）rx5，令50得r2，所以常数项为C（1）245答案：C2若二项式的展开式中的系数是84，则实数a（）A2 BC1 D解析：展开式中含的项是T6C（2x）2C22a5x3，故有C22a584，解得a1答案：C3（2020高考天津卷）在 的展开式中，x2的系数是_解析：因为的展开式的通项公式为Tr1Cx5rC2rx53r（r0，1，2，3，4，5），令53r2，解得r1所以x2的系数为C210答案：104（2020高考全国卷
6、）的展开式中常数项是（用数字作答）解析：的展开式的通项为Tr1C（x2）6rC2rx123r，令123r0，解得r4，得常数项为C24240答案：240与二项展开式有关问题的解题策略（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数（3）对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例1在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为641，则x
7、3的系数为（）A15B45C135 D405解析由题意知64，得n6，展开式的通项为Tr1Cx6r3rCx6，令63，得r2，则x3的系数为32C135答案C例2若（1x）9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|（）A1 B513C512 D511解析令x0，得a01，令x1，得|a1|a2|a3|a9|1（1）91291511答案D赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立因此，可将x，y设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值如：（1）形如（axb）n，（ax2bxc）m（a，bR）
8、的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可（2）形如（axby）n（a，bR）的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可题组突破1的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是（）A6BC4x D或4x解析：令x1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即82n32，解得n4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C（）26答案：A2若（1x）（12x）8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为（）A29 B291C39 D391解析：（1x）（12x）8a0a1xa2x2a9x9，令x0，得a01；令x2，得a0a12a222a92939，
9、所以a12a222a929391答案：D二项式定理应用中的核心素养数学运算几个多项式的展开式问题1几个多项式的和的展开式问题例1（2020高考浙江卷）二项展开式（12x）5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a4；a1a3a5_解析由题意，得a4C2451680当x1时，（12）5a0a1a2a3a4a535243，当x1时，（12）5a0a1a2a3a4a51得，2（a1a3a5）243（1）244，可得a1a3a5122答案80122对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项公式，从每一个多项式中分别得到特定的项，再求和即可2几个多项式的积的展开式问
10、题例2（2021唐山摸底）（xy）5的展开式中x3y3的系数为（）A5 B10C15 D20解析（xy）5展开式的通项公式为Tr1Cx5ryr（rN且r5），所以的各项与（xy）5展开式的通项的乘积可表示为：xTr1xCx5ryrCx6ryr和Tr1Cx5ryrCx4ryr2，在xTr1Cx6ryr中，令r3，可得：xT4Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tr1Cx4ryr2中，令r1，可得：T2Cx3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10515答案C求解形如（ab）m（cd）n的展开式问题的思路（1）若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如（ab）2（cd）n（a
11、22abb2）（cd）n，然后分别求解（2）观察（ab）（cd）是否可以合并，如（1x）5（1x）7（1x）（1x）5（1x）2（1x2）5（1x）2（3）分别得到（ab）m，（cd）n的通项，综合考虑3三项展开式的特定项问题例3（x2xy）5的展开式中x5y2的系数为（）A10B20 C30D60解析（x2xy）5的展开式的通项为Tr1C（x2x）5ryr，令r2，则T3C（x2x）3y2，又（x2x）3的展开式的通项为Tk1C（x2）3kxkCx6k，令6k5，则k1，所以（x2xy）5的展开式中，x5y2的系数为CC30答案C三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法（1）通常将三项式转
12、化为二项式积的形式，然后利用二项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形题组突破1（2020高考全国卷）（xy）5的展开式中x3y3的系数为（）A5 B10C15 D20解析：法一：（xy）5（x55x4y10x3y210x2y35xy4y5），x3y3的系数为10515法二：当x中取x时，x3y3的系数为C，当x中取时，x3y3的系数为C，x3y3的系数为CC10515答案：C2（xy2）6的展开式中y4的系数为（）A40 B60C40 D60解析：法一：因为（xy2）6（x2）y6，所以展开式中含y4的项为C（x2）2（y）415x2y460xy460y4，所以展开式中y4的系数为60法二：由于（xy2）6的展开式中y4项不含x，所以（xy2）6的展开式中y4项就是（2y）6的展开式中y4项，即C22（y）460y4，所以（xy2）6的展开式中y4的系数为60答案：B
