1、数学月考试卷(五月)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为()A100 B150 C200 D250【答案】A【解析】方法一由题意可得,解得n100.方法二由题意,得抽样比为,总体容量为3 5001 5005 000,故n5 000100.2.集合A2,3,B1,2,3,从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】从A,B中任意取一
2、个数,共有CC6种情形,两数和等于4的情形只有(2,2),(3,1)两种,p.3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C【解析】末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,共有AA48种.4.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学,测量他们的身高(单位:cm),所得数据用茎叶图表示如下,由此可估计甲、乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是()A甲班同学身高的方差较大 B甲班同学身高的平均值较大C甲班同学身高的中位数较大 D甲班同学身高在175 cm以上的人数较多【答案】A【解析】逐一考查所给的选项:观察茎叶图可知甲班同学数据
3、波动大,则甲班同学身高的方差较大,A选项正确;甲班同学身高的平均值为169.2,乙班同学身高的平均值为:171,则乙班同学身高的平均值大,B选项错误;甲班同学身高的中位数为168,乙班同学身高的中位数为171.5,则乙班同学身高的中位数大,C选项错误;甲班同学身高在175 cm以上的人数为3人,乙班同学身高在175 cm以上的人数为4人,则乙班同学身高在175 cm以上的人数多,D选项错误5.函数的最小值为( )ABCD【答案】C【解析】由题得,令解得,则当时f(x)为减函数,当时,f(x)为增函数,所以点处的函数值为最小值,代入函数解得,故选C。6.已知函数,下列结论中正确的是( )A函数有
4、极小值B函数有极大值C函数有一个零点D函数没有零点【答案】D【解析】因为,所以,又,所以,即函数在上单调递增,且,故函数无极值,且函数无零点,故选D。7.已知函数的定义域为,导函数在上的图象如图所示,则在内的极小值点的个数为( ) A1B2C3D4【答案】B8.已知函数在处的导数为,则等于( )ABCD【答案】B【解析】在处的导数为,所以,故选B.9.如图,是可导函数,直线是曲线在处的切线,令,是的导函数,则( )A1B0C2D4【答案】B【解析】将点代入直线的方程得,得,所以,由于点在函数的图象上,则,对函数求导得,故选B。10.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a
5、,b,共可得到lg alg b的不同值的个数是()A.9 B.10 C.18 D.20【答案】C【解析】由于lg alg blg (a0,b0),lg 有多少个不同的值,只需看不同值的个数.从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种,又与相同,与相同,lg alg b的不同值的个数有A218.11.已知样本(x1,x2,xn)的平均数为,样本(y1,y2,ym)的平均数为(),若样本(x1,x2,xn,y1,y2,ym)的平均数a(1a),其中0a,则n,m的大小关系为()Anm Cnm D不能确定【答案】A【解析】由题意可得, ,a(1a),所以a,1a,又0a,所以0,所以n0,f(x)单调
6、递增;当x时,f(x)0,f(x)单调递减,故当x2时,f(x)取得最大值80,则V4.体积最大值为4 cm3.【答案】4三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.(70分)17.解答下列问题:1.(3分)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有多少种?2.(3分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的四位数.3.(4分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有多少种【答案】1.【解析】法一可分两种情况:第一种情况,只有1位女生入选,不同的
7、选法有CC12种;第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有CC4种.根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有12416种.法二从6人中任选3人,不同的选法有C20种,从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C4种,所以至少有1位女生入选的不同的选法有20416种.2.【解析】若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为CCA;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCACCCA7205401 260.3.【解析】因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作先
8、把4项工作分成3组,即2,1,1,有6种,再分配给3个人,有A6种,所以不同的安排方式共有6636(种). 18.(12分)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2018年11月11日的网购金额,所得数据如下表:网购金额(单位:千元)人数频率(0,1160.08(1,2240.12(2,3xp(3,4yq(4,5160.08(5,6140.07总计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为32.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这200名网友中,用分层抽样的方法从网购金额在(1,2和(4,5的两个
9、群体中确定5人进行问卷调查,若需从这5人中随机选取2人继续访谈,则此2人来自不同群体的概率是多少?【解析】(1)根据题意有解得p0.40,q0.25.补全频率分布直方图如图所示.(2)根据题意,抽取网购金额在(1,2内的人数为53(人).抽取网购金额在(4,5内的人数为52(人). 故此2人来自不同群体的概率P.19.(12分)已知函数.()当曲线在时的切线与直线平行,求曲线在处的切线方程;()求函数的极值,并求当有极大值且极大值为正数时,实数的取值范围.【答案】();().【解析】(),由,得.当时,曲线在处的切线方程为,即.().(1)当时,所以,在递减,无极值.(2)当时,由得.随的变化
10、、的变化情况如下:+0-极大值故有极大值,无极小值;,由,.所以,当的极大值为正数时,实数的取值范围为。20.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位: m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用
11、水量数据的频率分布直方图; (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)【解】(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48.因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后50天
12、日用水量的平均数为2(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)21.(12分)已知函数,当时,函数有极大值8. ()求函数的解析式;()若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(I)(II)【解析】(I) 当时,函数有极大值8,解得 所以函数的解析式为. (II)不等式在区间上恒成立在区间上恒成立 令,则由 解得,解得所以当时,单调递增,当时,单调递减 所以对,都有,所以,即实数的取值范围是。22.(12分)已知函数f(x)ex(exa)a2x,其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(,),且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0,则f(x)e2x,在(,)上单调递增.若a0,则由f(x)0,得xln .当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在区间上单调递增.(2)当a0时,f(x)e2x0恒成立.若aa2e时,f(x)0.综上,a的取值范围是2e,0.