1、4.4 平面向量的应用一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)1.(2009泰州实验一模)已知O是四边形ABCD所在平面内任一点,且|,,则四边形ABCD的形状是_解析 由条件知又AB綊CD,四边形为平行四边形答案平行四边形2(2010日照模拟)给出下列命题:向量a与b平行,则a与b的方向相反或者相同;ABC中,必有四边形ABCD是平行四边形的充要条件是若非零向量a与b方向相同或相反,则ab与a、b之一方向相同其中正确的命题为_解析中未注意零向量所以错误,在中ab有可能为零向量,只有正确答案3.(2010徐州模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A、
2、B、C能构成三角形,则实数m应满足的条件是 .解析若点A、B、C不能构成三角形,则只能共线(2,1)(1,3)(1,2),(m1,m2)(1,3)(m,m1)假设A、B、C三点共线,则1(m1)2m0,即m1.若A、B、C三点能构成三角形,则m1.答案m14(2009江苏南通模拟)已知向量m(a2,2),n(2,b2),mn (a0,b0),则ab的最小值是_解析由已知mn可得(a2)(b2)40,即2(ab)ab0,4ab0,解得4或0(舍去),ab16.ab的最小值为16.答案165(2010无锡模拟)若向量a,b满足|a|,|b|1,a(ab)1,则向量a,b的夹角的大小为_解析设a,b
3、的夹角为.a(ab)1,a2ab1.又|a|,a2ab1,ab1.cos .又0,.答案6(2010江苏栟茶中学模拟)已知向量a(1,sin ),b(1,cos ),则|ab|的最大值为_解析ab(0,sin cos ),|ab|sin cos |.|ab|的最大值为.答案7.(2009安徽理)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 上变动,若xy,其中x,yR,则xy的最大值是_解析建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos 120,sin 120),即设AOC=,则(cos ,sin )xxy(x,0)(cos ,sin )xysin co
4、s 2sin(30)0120,3030150.xy有最大值2,当60时取最大值答案28(2009安徽文)在平行四边行ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若设AOC=,其中、R,则_.解析 设那么ab,=ab,又ab,即,.答案9(2009湖南文)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若则x_,y_.解析又又设则由题意知又BED=60,显然与的夹角为45.由得1cos 45(x1)12.x1. 同理,在两边与数量积可得y.答案1二、解答题(本大题共3小题,共46分)10.(14分)(2009沈阳二中二模)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若(R).试当为何值时,点P在
5、第三象限内?解 设(x,y)(2,3)(x2,y3)(x,y)(2,3)(x2,y3)(35,17) (x2,y3)(35,17)P在第三象限内1,即1时,P点在第三象限11(16分)(2010扬州模拟)已知向量a(cos(),sin(),b.(1)求证:ab;(2)若存在不等于0的实数k和t,使xa(t23)b,ykatb,满足xy,试求此时的最小值(1)证明abcos()cossin()sinsin cos sin cos 0.ab.(2)解由xy得xy0,即a(t23)b(katb)0,ka2(t33t)b2tk(t23)ab0,k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21,|b|21
6、,kt33t0,kt33t.t2t32.故当t时,有最小值.12(16分)(2010镇江模拟)如图所示,有两条相交成60的直线xx、yy,其交点是O,甲、乙两辆汽车分别在xx、yy上行驶,起初甲离O点30 km,乙离O点10 km,后来两车均以60 km/h的速度,甲沿xx方向,乙沿yy方向行驶(1)起初两车的距离是多少?(2)t小时后两车的距离是多少?(3)何时两车的距离最短?解(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B,则|2|22|cos 60700.故 km10 km.(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q,则 当时,(3060t)2(1060t)22(3060t)(1060t)cos 60;当时,(60t30)2(1060t)22(60t30)(1060t)cos 120.上面两式可统一为10 800t23 600t700,即10 km.(3)因为1010,故当t,即在第10分钟末时,两车距离最短,最短距离为20 km.