1、4.4 平面向量的应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1.（2009泰州实验一模）已知O是四边形ABCD所在平面内任一点，且|，,则四边形ABCD的形状是_解析 由条件知又AB綊CD，四边形为平行四边形答案平行四边形2(2010日照模拟)给出下列命题：向量a与b平行，则a与b的方向相反或者相同；ABC中，必有四边形ABCD是平行四边形的充要条件是若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a、b之一方向相同其中正确的命题为_解析中未注意零向量所以错误，在中ab有可能为零向量，只有正确答案3.（2010徐州模拟）已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若点A、
2、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 .解析若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A、B、C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.若A、B、C三点能构成三角形，则m1.答案m14(2009江苏南通模拟)已知向量m(a2，2)，n(2，b2)，mn (a0，b0)，则ab的最小值是_解析由已知mn可得(a2)(b2)40，即2(ab)ab0，4ab0，解得4或0(舍去)，ab16.ab的最小值为16.答案165(2010无锡模拟)若向量a，b满足|a|，|b|1，a(ab)1，则向量a，b的夹角的大小为_解析设a，b
3、的夹角为.a(ab)1，a2ab1.又|a|，a2ab1，ab1.cos .又0，.答案6(2010江苏栟茶中学模拟)已知向量a(1，sin )，b(1，cos )，则|ab|的最大值为_解析ab(0，sin cos )，|ab|sin cos |.|ab|的最大值为.答案7.（2009安徽理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120，sin 120)，即设AOC=,则(cos ，sin )xxy(x,0)(cos ，sin )xysin co
4、s 2sin(30)0120，3030150.xy有最大值2，当60时取最大值答案28(2009安徽文)在平行四边行ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若设AOC=,其中、R，则_.解析 设那么ab，=ab，又ab，即，.答案9(2009湖南文)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若则x_，y_.解析又又设则由题意知又BED=60,显然与的夹角为45.由得1cos 45(x1)12.x1. 同理,在两边与数量积可得y.答案1二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2009沈阳二中二模）已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若(R).试当为何值时,点P在
5、第三象限内?解 设(x，y)(2,3)(x2，y3)(x，y)(2,3)(x2，y3)(35，17) (x2，y3)(35，17)P在第三象限内1，即1时，P点在第三象限11(16分)(2010扬州模拟)已知向量a(cos()，sin()，b.(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时的最小值(1)证明abcos()cossin()sinsin cos sin cos 0.ab.(2)解由xy得xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21
6、，kt33t0，kt33t.t2t32.故当t时，有最小值.12(16分)(2010镇江模拟)如图所示，有两条相交成60的直线xx、yy，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx、yy上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度，甲沿xx方向，乙沿yy方向行驶(1)起初两车的距离是多少？(2)t小时后两车的距离是多少？(3)何时两车的距离最短？解(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B，则|2|22|cos 60700.故 km10 km.(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，则 当时，(3060t)2(1060t)22(3060t)(1060t)cos 60；当时，(60t30)2(1060t)22(60t30)(1060t)cos 120.上面两式可统一为10 800t23 600t700，即10 km.（3）因为1010，故当t，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20 km.