1、第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题命题分析预测学科核心素养从近五年的命题情况来看，本节是高考的重点，命题稳定，难度适中主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值（范围）以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现本节通过线性规划问题及其应用，提升考生的数学运算、直观想象和数学建模核心素养及数形结合思想的应用能力授课提示：对应学生用书第123页知识点简单的线性规划1二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线
2、不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式（组）线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 温馨提醒 1画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为AxByC0（A0）的形式2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个
3、，也可能有无数多个，也可能没有1不等式组表示的平面区域是（）答案：B2（易错题）已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值为（）A1B1C2 D2解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点（x，y）有无数个，所以akAB1，所以a1答案：A3投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单
4、位是百吨）解析：用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0，200x300y1 400，200x100y900答案：授课提示：对应学生用书第124页题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域1在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）ABC D2解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O（0，0），B（2，0）和A（1，）为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分（含边界），由图知该平面区域的面积为2答案：B2已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（）A1 B1C0 D2解析：由于x1与xy40不可
5、能垂直，所以只有可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求；当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求综上，实数k的值为1答案：A3已知直线ykx3经过不等式组所表示的平面区域，则实数k的取值范围是（）ABCD解析：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，直线ykx3过定点M（0，3），由解得A（2，4），当直线ykx3过点A时，k；由解得B（2，0），当直线ykx3过点B时，k由图形知，实数k的取值范围是答案：B根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定
6、好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案题型二目标函数的最值及应用线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值；（3）求目标函数中的参数；（4）线性规划的实际应用考法（一）求线性目标函数的最值例1（2020高考全国卷）若x，y满足约束条件则zx7y的最大值为_解析画出可行域如图阴影部分所示由zx7y得yxz平移直线l0：y
7、x，可知当直线yxz过点A时z最大由得即A（1，0）zmax1701答案1求目标函数最值的三步骤（1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线（2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置（3）求值解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值考法（二）求非线性目标函数的最值例2（1）设实数x，y满足则u的取值范围是（）ABC D（2）（2021安徽马鞍山模拟）已知实数x，y满足则x2y2的最大值与最小值之和为（）A5 BC6 D7解析（1）在坐标平面上点（x，y）所表示的区域如图所示，根据几何意义，u的值即为区域内的点与坐标原点连线
8、的斜率，显然kOA最小，kOB最大由得点A（3，1），由得点B（1，2），故u2（2）作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，x2y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方，由图可知，O到直线xy10的距离最小，为可行域内的点B与坐标原点的距离最大，为所以x2y2的最大值与最小值之和为5答案（1）A（2）B常见的两种非线性目标函数及其几何意义（1）点到点的距离型：形如z（xa）2（yb）2，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）的距离的平方（2）斜率型：形如z，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率考法（三）线性规划中的参数问题例3若x，y满足约束条件若z2x3y的最
9、大值为9，则正实数m的值为_解析作出x，y满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z2x3y在点A处取得最大值，由解得A（3，m3），由zmax233（m3）9，解得m2答案2求解线性规划中含参数问题的基本方法（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数考法（四）线性规划的实际应用例4为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球根据需要，
10、排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是_解析设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和zxy则即由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示联立解得A（8，4），化目标函数zxy为yxz，由图可知，当直线yxz过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，此时z8412答案12解答线性规划实际问题的三步骤（1）根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数（2）准确作出可行域，求出最优解（3）将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案题组突破1（2021石家庄市高三模拟）已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值为（）A3BC3
11、D4解析：画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，平移该直线，当直线过点B时，z2xy取得最大值由得所以B（2，1），故zmax2213答案：C2若x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为（）A BC1 D2解析：若z3xy的最大值为2，则此时目标函数为y3x2，直线y3x2与3x2y20和xy1分别交于A（2，4），B，直线mxy0经过其中一点，所以m2或m当m时，经检验不符合题意，舍去，故m2答案：D3某届冬奥会中国运动健儿发挥稳定，向世界展现了良好的精神风貌在饮食方面，每天的中餐主办方向运动员提供A和B两种套餐已知一个单位的A套餐含有6个单位的蛋白质、6
12、个单位的碳水化合物和12个单位的维生素；一个单位的B套餐含有12个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和6个单位的维生素另外，营养师分析：一位运动员每天的中餐需要的营养中至少含有60个单位的蛋白质、42个单位的碳水化合物、54个单位的维生素若每单位A，B套餐所需费用分别为4元和3元，则在满足上述营养的要求下，每位运动员每天的中餐至少花费元解析：设每位运动员食用x个单位的A套餐，食用y个单位的B套餐，每天中餐的花费为z元，根据题意，得到约束条件化简得目标函数z4x3y作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知目标函数z4x3y在A（2，5）处取得最小值，所以zmin423523，故
13、每位运动员每天的中餐至少花费23元答案：23线性规划应用中的核心素养直观想象线性规划的创新交汇问题例已知不等式组表示的平面区域为，过区域中的任意一个点P，作圆x2y21的两条切线且切点分别为A，B，当APB最大时，的值为（）A2BC D3解析作出平面区域如图中阴影部分所示，当APB最大时，APO最大，sinAPO最大，故|OP|最小，易知|OP|的最小值为点O到直线xy20的距离d，且d2，故sinAPO ，当等号成立时，APB2APO60，且|PA|PB|，此时|cosAPB答案B求解此类问题的关键是利用转化思想与数形结合思想进行求解对点训练已知实数x，y满足设向量a（y2x，m），b（1，1），若ab，则m的最大值为（）A6 B6C1 D1解析：因为a（y2x，m），b（1，1），ab，所以m2xy，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，并平移，结合图像易知，m2xy取得最大值的最优解为（4，2），所以m的最大值为6答案：B
